Доказательство. Тогда в силу (1) . Иными словами

Необходимость.

, т.о. .

Тогда в силу (1) . Иными словами .

Достаточность.

Пусть указанные последовательности координат сходятся к числам . Тогда для любого можно указать номера такие, что при соответственно выполняются неравенства . Тогда при в силу неравенства (1) выполняется неравенство , то есть .

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если . В полной аналогии с теоремой 1 может быть доказано следующее утверждение:

Теорема 2.(о координатной фундаментальности)

Последовательность является фундаментальной тогда и только тогда, когда последовательности являются фундаментальными.

С помощью теорем 1 и 2 и критерия Коши сходимости числовой последовательности доказывается теорема (критерий Коши сходимости последовательности в ). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Задание. Провести доказательство самостоятельно.

Определение 3. Последовательность точек в называется ограниченной, если , где - точка, все координаты которой равны 0.

Теорема 3. (Больцано – Вейерштрасса)

Из любой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.