Доказательство. Поскольку , то в силу неравенства (1)

Поскольку , то в силу неравенства (1) . Иными словами, последовательности ограничены. В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса для числовых последовательностей из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность последовательности вторых координат точек . В силу той же теоремы из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Заметим, что последовательность . Итак, подпоследовательности и сходятся к числам и соответственно. Продолжая эти рассуждения, мы получим сходящуюся к некоторому числу подпоследовательность последовательности m – ых координат точек , причем подпоследовательности ,…, сходятся к числам соответственно. Тогда в силу теоремы 1 подпоследовательность сходится к точке . Теорема 3 доказана.

Над последовательностями в можно производить те же операции, которые можно производить над векторами этого пространства; а именно: сложение, умножение на скаляр и скалярное произведение. Следующая теорема говорит о непрерывности этих операций.