Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференциальные уравнения движения точкиРассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона: , , причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени: . Если известен закон движения (например из кинематики): , , , то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки. Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.
Формы дифференциальных уравнений движения 1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения. 2) Умножим на (векторно): или - уравнение момента количества движения. [Почему? – самостоятельно. Учесть ]. Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы. Подробная запись (координатная): 3) Умножим скалярно на элементарные перемещения :
. - уравнение кинетической энергии. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении. О первых интегралах (законы сохранения). Из дифференциальных уравнений: функция координат, их производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная по времени равна нулю) => называется первым интегралом. Получим такие условия. Если - первый интеграл, то и 1) Если Fx = 0, то , - интеграл количества движения (закон сохранения количества движения). 2) Если (то есть проекция момента силы на ось z),
то из , - интеграл момента количества движения (закон сохранения момента количества движения). 3) Получим интеграл энергии. . Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции – потенциала силового поля . Тогда: , , .
Работа: . Чтобы было полным дифференциалом: 1) - то есть поле стационарно (не зависит от t). 2) , с условиями из высшей математики:
; ;
или ; ; или
Иначе: если и , то и уравнение кинетической энергии будет в полных дифференциалах: . Интегрируя: . Введём потенциальную энергию: . Тогда: - интеграл энергии (закон сохранения механической энергии). Если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной. Е0 – механическая энергия; находится из начальных условий. Энергия сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным. Покажем, что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51). Рис.51.
Работа: , что и требовалось доказать. . Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю (рис.52).
Рис.52. 8. Произведение силы на перемещение и на косинус угла между ними A=F*s*cosa Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении ее точки приложения определяется с помощью скалярного произведения вектора силы на вектор перемещения точки приложения силы. Определяется работа силы на перемещении точки ее приложения для любых постоянных сил и сил, зависящих от положения точки. Подробнее определение работы различных сил и иные формулы для определения элементарной работы силы будут рассматриваться специально.
|