Основные формулы

Кинематика

Движение материальной точки в пространстве можно описать векторным уравнением r = r(t), где r– радиус – вектор, проведенный от начала координат до материальной точки, или с помощью проекций вектора r на координатные оси: r_x= x, r_y = y, r_z = z, где x, y, z координаты материальной точки.

При этом записывают три скалярных уравнения:

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Δr= r₂ – r₁ – перемещение точки. Движение точки может происходить вдоль любой кривой, называемой траекторией. Длина траектории представляет собой путь и является скалярной величиной. Vcр. = Δs/Δt - средняя скорость. Производную радиуса-вектора по времени называют скоростью материальной точки: V

V = Δr/Δt

Отношение изменения скорости ΔV = V₂ - V₁ к промежутку времени Δt за который это изменение произошло, называется ускорением

a= Δv/Δt

При равномерном прямолинейном движении скорость V= const. Если точка движется из начала координат, то

r = s = vt

При равнопеременном движении ускорение а = const и скорость точки

v = v₀ + at

В случае движения в плоскости XY используют уравнения движения в проекциях на оси координат:

v_x = v_0x + a_xt,

v_y = v_0y + a_yt

Уравнение координаты равномерного движения:

x = x₀+vt

Равноускоренное движение

a = v -v₀/t

x = x₀+v₀t+at²/2

S=v₀t+at²/2

S=v²-v₀²/2a

Равномерное вращение с угловой скоростью ω. Угол поворота (в рад) и число оборотов:

φ = ωt, N = φ/(2π) = νt,

где ν − частота вращения (ν = ω/(2π)).

 Период вращения:

T = 1/ν = 2π/ω.

 Связь между угловыми и линейными перемещениями

l = φR, v = ωR, где l − длина дуги.

 Центростремительное ускорение:

a_ц = v²/R = ω²R.

 Объем и масса (жидкости, газа), проходящие через сечение S струи за время Δt (уравнение расхода):

ΔV = SvΔt,

Δm = ρΔV = ρSvΔt,

где v − скорость струи, ρ − плотность (жидкости, газа).

Свободное падение (vo = 0). Скорость и перемещение (ось y направлена вниз, ay = g)

v_y = gt, S_y = gt²/2.

 Высота в момент времени t

h(t) = H − gt²/2,

где H − начальная высота.

 Время падения и конечная скорость:

t = √{2H/g}, v = √{2gH}.

  Бросок вертикально вверх с начальной скоростью v_o. Скорость и перемещение (ось y направлена вверх, v_oy = v_o, a_y = −g):

v_y = v_o − gt,

S_y = v_ot − gt²/2.

 Время подъема до высшей точки (где vy = 0) и высота подъема

t₁ = v_o/g,

h_max = v_o²/(2g).

Полное время полета (до возврата в точку броска)

t₂ = 2t₁ = 2v_o/g.

Горизонтальный бросок со скоростью v_o. Проекции скорости и перемещения (ось x направлена горизонтальна, ось y − вертикально вниз):

v_x = v_o, S_x = v_ot,

v_y = gt, S_y = gt²/2,

(по горизонтали − равномерное движение со скоростью v_o, по вертикали − свободное падение). Модули скорости и угол наклона скорости к горизонту:

v = √{v_x² + v_y²} = √{v_o² + (gt)²}

tgβ = v_y/v_x = gt/v_o.

 Время до падения на землю (начальная высота H) и дальность полета:

t = √{2H/g}

S = v_o√{2H/g}.

  Бросок под углом к горизонту с начальной скоростью v_o. Проекция скорости и перемещения (ось x направлена горизонтально, ось y − вертикально вверх):

v_x = v_ocosα, S_x = v_otcosα,

v_y = v_osinα − gt, S_y = v_otsinα − gt²/2,

(по горизонтали − равномерное движение со скоростью vocosα, по вертикали − бросок вертикально вверх с начальной скоростью

v_oy = v_osinα).

 Время подъема до высшей точки (v_y = 0) и максимальная высота

t₁ = v_osinα/g, h_max = (v_osinα)²/(2g).

 Полное время и дальность полета

t₂ = 2t₁ = 2v_osinα/g, S = v_xt₂ = v_o²sin(2α)/g.

ЗАДАЧИ