![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Доказательство. Пусть векторы линейно зависимы, тогда существует нетривиальный набор коэффициентов , при котором
1) Необходимость. Пусть векторы
Вводя
который и требовалось доказать.
2) Достаточность. Пусть
Тогда
Откуда следует, что линейная комбинация векторов Следовательно, векторы
Следствие 1. Если среди векторов Доказательство. Пусть
Следствие 2. Если среди векторов Доказательство. Пусть
Следствие 3. Если среди векторов Доказательство. Пусть
Следствие 4. Если среди векторов Доказательство. Пусть линейно зависимыми являются векторы Полагая
Следствие 5. Если векторы Доказательство. Применим метод от противного. Предположим, что нашлась линейно зависимая подсистема векторов, тогда, согласно следствию 4, вся система векторов будет линейно зависимой. Получаем противоречие. Следовательно, предположение является неверным, и любая подсистема векторов будет линейно независимой.
Замечание. Из полученных выше результатов, опираясь на знания школьной программы, в частности, можно сделать следующие выводы. В линейном пространстве векторов, исходящих из одной точки на плоскости: 1) любые два коллинеарных вектора – линейно зависимы, а любые два неколлинеарных вектора линейно независимы; 2) любые три вектора – линейно зависимы. В линейном пространстве векторов, исходящих из одной точки в «реальном» пространстве: 1) любые три компланарных вектора линейно зависимы, а любые три некомпланарных вектора линейно независимы; 2) любые четыре вектора – линейно зависимы. Определение 9. Линейное пространство L называется конечномерным, размерности n, если в этом пространстве найдется система из n линейно независимых векторов, а любая система из n+1 вектора уже линейно зависима. Обозначение:
Определение 10. Линейное пространство L называется бесконечномерным, если Обозначение: Определение 11. Система векторов называется базисом линейного пространства L, если 1) она линейно независима; 2) любой вектор Теорема 2 (О способе выбора базиса в конечномерном пространстве). Если L - конечномерное линейное пространство размерности n, то любая система из n линейно независимых векторов является базисом этого пространства. Доказательство. Пусть Пусть x - произвольный вектор линейного пространства L. Так как
Покажем, что коэффициент
откуда следует, что
Так как в случае равенства нулю коэффициента
т.е. вектор x является линейной комбинацией векторов В силу произвольности выбора вектора x результат будет справедлив для любого вектора
Замечание. В частности, опираясь, на сделанные выше замечания, и доказанную теорему, можно отметить, что линейное пространство векторов плоскости, исходящих из одной точки – есть конечномерное пространство размерности 2, где в качестве базиса можно выбрать любые два неколлинеарных вектора; линейное пространство векторов, исходящих из одной точки в «реальном» пространстве – есть конечномерное пространство размерности 3, где в качестве базиса можно выбрать любые три некомпланарных вектора.
Следствие. В конечномерном линейном пространстве L, размерности n, любая система из Доказательство. Если
Иногда определение базиса дают иначе. Определение 12. Базисом линейного пространства L называется максимально линейно независимая система векторов.
Очевидно, что определения 11 и 12 являются эквивалентными. Т.е. система векторов, являющаяся базисом по определению 11, является базисом и по определению 12, и наоборот.
Базис конечномерного линейного пространства размерности принято обозначать
Определение 13. Представление вектора Теорема 3 (О единственности разложения вектора по базису). Если в конечномерном линейном пространстве L, размерности n, зафиксирован базис Доказательство. Применим метод от противного. Предположим, что в линейном пространстве L найдется вектор х, для которого возможны два разложения. Т.е. существуют два различных набора
Тогда,
Так как векторы
Получаем противоречие с выдвинутым предположением, следовательно, оно – неверное и разложение по базису – единственное. Теорема доказана.
Замечание. Очевидно, что в различных базисах одного и того же линейного пространства L координаты вектора различны. Ниже будут рассмотрены формулы связи координат одного и того же вектора в двух базисах одного и того же пространства.
Теорема 4 (Критерий линейной независимости векторов в конечномерном пространстве). Если
линейно независимы тогда и только тогда, когда
Доказательство. Заметим, что
Перегруппировав слагаемые, и выделив коэффициенты при базисных векторах
Так как базисные векторы
Получившаяся система является линейной однородной системой с постоянными коэффициентами, неизвестными в которой являются Согласно следствию из правила Крамера, данная система имеет нетривиальное решение (тогда векторы Следовательно, векторы
Следствие (Критерий линейной зависимости векторов в конечномерном пространстве) Если
линейно зависимы тогда и только тогда, когда
Доказательство. Данный результат автоматически получен при доказательстве рассмотренной выше теоремы.
Теперь выведем формулы для связи двух базисов одного и того же конечномерного линейного пространства L, размерности n. Пусть в пространстве L заданы два базиса
Если ввести матрицы
то связь между векторами базисов можно представить в матричном виде:
или кратко
Получившаяся формула называется формулой перехода от «старого» базиса
Матрица
Так как базис
В таком случае для неё существует обратная матрица
Получившаяся формула называется формулой перехода от «нового» базиса Зная связь между двумя базисами
Пусть в базисе
Вводя матрицы
Откуда следует, что
Учитывая связь между базисами:
В силу единственности разложения вектора по базису:
Получившаяся формула называется формулой перехода от координат вектора x в базисе Формула перехода от координат вектора x в базисе 1 способ. На основе полученной выше формулы перехода от координат вектора x в базисе
Так как матрица перехода Т – невырожденная матрица, то у неё существует обратная матрица
2 способ. На основе формулы перехода от базиса Как уже было отмечено выше:
так как
где Т – матрица перехода от «старого» базиса
Из единственности разложения вектора х по базису
Данная формула называется формулой перехода от координат вектора х в базисе
Замечание. В некоторых учебниках вместо матриц-строк Date: 2015-09-03; view: 1122; Нарушение авторских прав |