Геометрия и физика в ОТО

До XIX в. в математике была известна только одна геометрия – геометрия Евклида.

В XIX в. благодаря работам русского математика Н.И.Лобачевского (1829 – 1830), немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777 – 1855) и немецкого математика Г.Римана (1826 – 1866), оказалось, что наряду с геометрией Евклида логически возможны в равной мере стройные и непротиворечивые другие системы геометрии.

23 февраля 1826 г профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение начал геометрии». Дата этого выступления считается днём рождения неевклидовой геометрии. Первой серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии была его работа «О началах геометрии».

Геометрия Лобачевского – это геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных. Вместо неё в геометрии Лобачевского принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

В 1868 г. итальянский математик Э.Бельтрами (1835 - 1900) показал, что геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере.

Г.Риман в работе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» ввёл понятие многообразия, вслед за Гауссом предложив исследовать внутреннюю геометрию пространств, тем самым заложив основы дифференциальной геометрии и подготовив фундамент для общей теории относительности.

Для пояснения различия геометрий Евклида, Римана и Лобачевского обычно прибегают к следующему приему. Вместо пространства трех измерений берут пространство двух измерений, т.е. поверхность. В этом случае можно дать наглядное истолкование геометриям Лобачевского и Римана.

Соотношения геометрии Евклида осуществляются на плоскости и сумма углов треугольника будет равна 180 градусов.

Геометрия Лобачевского реализуется на так называемой псевдосфере (напоминающей поверхность лошадиного седла), которая является поверхностью отрицательной кривизны. Здесь сумма углов треугольника будет < 180.

Геометрия Римана реализуется на поверхности сферы. Здесь мы имеем дело с поверхностью положительной кривизны, в отличие от геометрии Евклида, где кривизна нулевая. Сумма углов треугольника будет > 180.

Неевклидовы геометрии утвердились в качестве математических теорий, но отношение их к реальному миру оставалось неясным вплоть до создания общей теории относительности. Были сделаны попытки определить какова метрика того мира, в котором мы живём, прибегнув к непосредственным измерениям суммы углов треугольника. Однако возможный дефект измерения лежал в пределах неточности измерительных инструментов, и столь непосредственным путем нельзя установить является ли пространство евклидовым или неевклидовым. Хотя еще Лобачевский, Риман и Гаусс высказывали предположение, что геометрия реального мира в больших масштабах является неевклидовой.

Этот вопрос решён в рамках общей теории относительности, в которой произошло объединение физики и геометрии.

В ОТО гравитация и метрика оказываются в определенном отношении тождественными.

Гравитационное поле может быть охарактеризовано как отступление пространственно-временной метрики от евклидовости (как «искривление» пространства-времени), и, наоборот, метрика пространства-времени может быть представлена как проявление гравитации. Силы тяготения, аналогичной силам, действующим в механике или электродинамике, просто не существует. Движение тел в поле тяготения есть своеобразное движение по инерции, но в «искривленном» пространстве, где место прямых линий занимают прямейшие, или геодезические, мировые линии, которые образуют кратчайшие соединения между парами точек.

В свое время Галилей доказал, что равномерное прямолинейное движение не вызывается каждый раз действием особых, приложенных к телу сил, а представляет собой движение по инерции в евклидовом пространстве. Эйнштейн же в общей теории относительности показал, что движение в поле тяготения вызывается не действием особых гравитационных сил, приложенных к движущимся телам, а представляет движение по инерции, но в неевклидовом пространстве.

Теория относительности установила не только искривление пространства под действием полей тяготения, но и замедление хода времени в сильных гравитационных полях.

Пространство-время общей теории относительности – это четырехмерное дифференциальное многообразие с геодезической структурой и метрикой. В ней устанавливается связь между кривизной пространства-времени и тензором энергии-импульса.

Пространство-время является неоднородным, его свойства изменяются с изменением гравитационного поля. В общей теории относительности на место абсолютного пространства пришло гравитационное поле, таким образом «пустое пространство, то есть пространство без поля, не существует, пространство-время существует не само по себе, но только как структурное свойство поля».[11]

Важнейшим выводом общей теории относительности стала идея, что изменение геометрических (пространственных) и временных характеристик тел происходит не только при движении с большими скоростями, как это было доказано специальной теорией относительности, но и в сильных гравитационных полях.

Как указывается в специальной научной литературе,[12] в настоящее время нет сколько-нибудь убедительной экспериментальной проверки общей теории относительности. Одна из особенностей общей теории относительности заключается как раз в том, что она опередила экспериментальные возможности физики и астрономии. Так, она объясняет поворот перигелия Меркурия, предсказывает два наблюдаемых эффекта: гравитационное смещение частоты излучения и отклонение световых лучей при их прохождении вблизи Солнца. Но формула А. Эйнштейна для отклонения лучей в поле Солнца проверена лишь с точностью порядка 10%. До последнего времени противоречивы результаты поисков красного смещения частоты в спектре Солнца; результат общей теории относительности проверен с очень небольшой точностью порядка 1%.

Более того, нет экспериментального подтверждения исходных посылок общей теории относительности. Например, до сих пор не подтверждено, что скорость распространения гравитационного возмущения равна скорости света в вакууме. Только эксперимент может дать ответ на вопрос, какова в действительности скорость распространения гравитации.

Физики солидарны в том, что необходимо тщательное обсуждение физических основ теории относительности, установление границ ее применимости.

Общая теория относительности является гипотезой с достаточно большими основаниями на достоверность. Она привлекла внимание физиков, прежде всего, своей достаточно большой общностью, стремлением объединить в единую теорию различные отрасли физики, математической стройностью и красотой.

Подведём итоги. Специальная теория относительности лишила пространство и время абсолютного статута, связав их в единое целое — пространственно-временной континуум. В общей теории относительности не только пространство и время по отдельности, но и пространственно-временной континуум лишается абсолютности. Согласно выводам общей теории относительности метрика пространства и времени определяется распределением гравитационных масс во Вселенной. Концепция А. Эйнштейна рассматривается как убедительный аргумент в пользу неэвклидовой пространственно-временной структуры мира и лежит в основе современной космологии.