Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки установившегося движения жидкости

Приведем систему уравнений Эйлера к виду удобному для интегрирования. С этой целью умножим каждое из урав­нений на соответствующие перемеще­ния dx, dy и dz (проекции элемента тра­ектории на соответствующие оси коор­динат) и почленно сложим три уравне­ния, в результате чего получим:

Первый трехчлен в условиях уста­новившегося движения равен полному дифференциалу гидродинамического давления, отнесенному к плотности жидкости:

Рассмотрим движение жидкости толь­ко под действием силы тяжести ускорение сво­бодного падения которой равно g и тогда в принятых направлениях коор­динатных осей можно записать:

X = 0, Y = 0 и Z = - g

поэтому трехчлен

Xdx + Ydy + Zdz = - gdz.

Правую часть уравнения пре­образуем, зная что перемещения соответ­ственно равны:

, ,

к следующему виду:

= = =

Подставляя в уравнение соот­ветствующие значения трехчленов, за­пишем:

или

Разделим все члены на g и после интегрирования получим:

Это выражение было получено в 1738 г. академиком Российской Акаде­мии наук Д. Бернулли и называется уравнением Д. Бернулли для элементар­ной струйки установившегося движения невязкой капельной жидкости.