Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Доказательство. Проще всего доказать данную теорему методом от противногоПроще всего доказать данную теорему методом от противного. Предположим, что векторы линейно зависимы. Тогда найдется нетривиальный набор коэффициентов , при котором линейная комбинация векторов обратится в нуль, т.е. . Умножая обе части данного равенства скалярно на вектор , получим: , из свойств скалярного произведения следует, что . Так как система векторов является ортонормированной, то и . Умножая обе части указанного выше равенства скалярно на вектор , получим: , из свойств скалярного произведения следует, что . Так как система векторов является ортонормированной, то и . Выполняя эту же операцию далее с векторами получим, что . Таким образом, линейная комбинация векторов обращается в нуль только при тривиальном наборе коэффициентов, что противоречит, высказанному предположению. Следовательно, система векторов является линейно независимой. Утверждение доказано.
Теорема 5. В конечномерном евклидовом пространстве можно выбрать ортонормированный базис.
Доказательство. Рассмотрим алгоритм построения ортонормированного базиса при n =3. Пусть задано некоторое евклидово пространство . Так как исследуемое евклидово пространство является линейным пространством размерности 3, то любая система из трех линейно независимых векторов образует базис. Зафиксируем любые три из них и обозначим соответственно. Так как пространство является евклидовым, то в нем определено скалярное произведение. Ортонормированный базис будем строить, опираясь на выбранные векторы и правило определения скалярного произведения векторов, по следующей схеме. Сначала построим ортогональную систему векторов . Выберем , а , подбирая коэффициент так, чтобы .
Вектор , подбирая коэффициенты и так, чтобы вектор был ортогонален векторам и .
Полученную ортогональную систему превращаем в ортонормированную следующим образом: . Ортонормированный базис построен.
|