Задачи для самостоятельного решения. 1. Определить модуль скорости материальной точки в момент времени с, если точка движется по закону

1. Определить модуль скорости материальной точки в момент времени с, если точка движется по закону , где м/с²; м.

2. Материальная точка движется по закону , где м; м. Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки.

3. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где (м/с) – постоянный вектор; (с^–1) – постоянная величина. Найти: а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени; б) промежуток времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом.

4. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: (м). Найти: а) скорость и ускорение частицы; б) модуль скорости в момент с; в) приближенное значение пути s, пройденного частицей за 11-ю секунду движения.

5. Частица движется со скоростью . Здесь м/с². Найти: а) модуль скорости частицы в момент времени с; б) ускорение частицы и его модуль; в) путь s, пройденный частицей с момента с до момента с.

6. Ускорение материальной точки изменяется по закону , где м/с⁴; м/с². На каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени с, если , при ?

7. Электрон движется в некоторой системе отсчета из начального положения, определяемого радиус-вектором где м, м, с начальной скоростью , где м/с и ускорением , где м/с³, м/c². Найти: а) положение электрона в момент времени с; б) скорость электрона при с; в) угол между радиус-вектором и вектором скорости при .

8. Частица движется с ускорением (м/с²). Определить модуль скорости частицы в момент c, если в начальный момент времени скорость была (м/с).

9. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой – все время держать курс перпендикулярно течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти по берегу реки со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения км/ч, а скорость каждого пловца относительно воды км/ч?

10. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а лодка В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок , если скорость каждой лодки относительно воды в раза больше скорости течения.

11. Лодка движется относительно воды со скоростью в n = 2 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

12. Два частицы 1 и 2 движутся с постоянными скоростями и по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения O. В момент частицы находились на расстояниях ₁ и ₂ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?

13. Из пункта А, находящегося на шоссе (рис. 1.1.22), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный на поле на расстоянии от шоссе. Известно, что скорость машины на поле в h раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?

14. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды, перпендикулярной к берегам скоростью м/с. Ширина реки м. Скорость течения изменяется по параболическому закону , где y – расстояние от берега, м/с – константа. Найти снос s лодки вниз по течению от пункта ее отправления до места причала на противоположном берегу реки.

15. Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону , где – положительная постоянная. В момент времени частица находилась в точке . Найти зависимость от времени скорости и ускорения частицы.

16. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону , где – положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

17. Частица движется в плоскости ХY с постоянным ускорением , направление которого противоположно положительному направлению оси Y. Уравнение траектории частицы имеет вид , где и – положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.

18. Тело бросили с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения; б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла они будут равны друг другу? в) уравнение траектории Y (Х), где Y и Х – перемещение тела по вертикали и горизонтали соответственно.

19. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы: а) радиус кривизны в начале его траектории был в h = 8,0 раз больше, чем в вершине;

б) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности?

20. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью м/с: первый под углом ° к горизонту, второй – под углом ° (азимут один и тот же). Найти интервал времени между снарядами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

21. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна . Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости , где – постоянная, y – высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема: а) величины сноса шара ; б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.

22. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Уравнение движения автомобиля (м). Найти скорость автомобиля, а также его тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени с.

23. Человек, находящийся в комнате на пятом этаже видит, как мимо его окна пролетает сверху предмет. Расстояние 2 м, равное высоте окна, предмет пролетает за 0,1 с. Высота одного этажа 4 м. Определить, с какого этажа упал предмет.

24. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние между которыми 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на 10 см ниже, чем в первом. Определить скорость пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально.

25. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на 1 м меньше высоты, с которой был брошен мяч. С какой скоростью был брошен мяч? Под каким углом он подлетел к поверхности стенки?

26. Два тела брошены одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом ° к горизонту. Начальная скорость каждого тела 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через 1,7 с.

27. С какой наибольшей скоростью должен идти под дождем человек, чтобы дождь не капал на ноги, если он держит зонт на высоте 2 м и край зонта выступает вперед на 0,3 м? Капли дождя падают вертикально со скоростью 8м/с.

28. Две подводные лодки плывут навстречу друг другу каждая со скоростью . С первой лодки был послан ультразвуковой сигнал, который отразившись от второй лодки, вернулся обратно через время t. Скорость сигнала . На каком расстоянии находились лодки в момент, когда был послан сигнал?

29. В момент выстрела мишень падает с некоторой высоты. Под каким углом должно быть направлено ружье, чтобы пуля попала в мишень во время ее свободного падения?

30. Колесо вращается с постоянной скоростью, соответствующей 100об/мин. С некоторого момента колесо тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с². Через какое время колесо остановится?

31. Снаряд вылетел со скоростью 320 м/с, сделав внутри ствола 2 оборота. Длина ствола 2 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

32. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали груз и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, груз за время t = 3 с опустился на = 1,5 м. Определить угловое ускорение e цилиндра, если его радиус R = 4 см.

33. Винт аэросаней вращается с частотой n = 360 мин^–1. Скорость поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус винта R = 1 м?

34. На токарном станке протачивается вал диаметром d = 60 мм. Продольная подача резца = 0,5 мм за один оборот. Какова скорость резания, если за интервал времени D t = 1 мин протачивается участок вала длиной =12см?

35. Тело вращается вокруг неподвижной оси Z так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени по закону , где a и b – положительные постоянные. Найти момент времени t, через которое тело останавливается, а также число оборотов тела N до остановки.

36. Твердое тело вращается вокруг оси Z. Зависимость угла его поворота от времени t описывается законом , где a и b – положительные постоянные. Найти проекции угловой скорости w_z и углового ускоренияe_z на ось Z. Построить графики зависимостей w_z(t) и e_z(t). Описать качественно характер движения.

37. Твердое тело вращается с угловой скоростью , где рад/с²; рад/с³; – орты осей Х и Y. Найти модули угловой скорости и углового ускорения в момент с.

38. Точка А находится на ободе колеса радиусом R = 0,5 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью м/с. Найти модуль и направление ускорения точки А.

Рис. 1.1.23

39. Шар радиусом R = 10 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением см/с². Через t = 2 с после начала движения его положение соответствует рис. 1.1.23. Найти: а) скорости точек А и В в системе отсчета, связанной с Землей; б) ускорения точек А и О.

40. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра r. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и В (рис. 1.1.23).

Четные номера – Д/З, нечетные - РГР