Алгебраические дополнения

Алгебраическое дополнение элемента определителя - определитель где - минор элемента .

Разложение определителя

По элементам i -й строки:

По элементам j -го столбца:

Например, при n = 4 разложение по первой строке

Свойства определителя

1.

2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то

4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

6. Пусть - квадратная матрица порядка n; k - фиксированное натуральное число: - матрицы, которые получаются из A заменой ее k -й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) Тогда

7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число.

8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.

9.