Сложение матриц

Матричное исчисление

Обозначения, терминология

Матрица размеров - система mn чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Обозначения:

или более кратко соответственно

Две матрицы А и B одинаковых размеров равны (запись А = В), если

- нулевая матрица,

- матрица, противоположная матрице A,

- трапециевидная (ступенчатая) матрица

- матрица-строка.

- матрица-столбец,

- верхняя треугольная матрица,

- нижняя треугольная матрица,

- диагональная матрица,

- скалярная матрица,

- единичная матрица,

(кратко: где - символ Кронекера).

Если все действительны, то матрица A называется действительной; если хотя бы одно из чисел комплексное, то матрица называется комплексной.

Сложение матриц

Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: C = А + В.

Свойства сложения матриц: А + В = В + А, (А + В) + С = A + (B + C), А + 0 = A, А + (-A) = 0, A, B, C.

Вычитание матриц

А - В = А + (-В).

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение:

Свойства , и

Умножение матриц

Произведением матрицы размером на матрицу размером назвается матрица размером у которой Обозначение: C = AB.

Свойства AE = EA = A, AO = OA = O, (AB)D = A(BD), (AB) = ( A)B = A( B), (A + B)D=AD + BD, D(A + B) = DA + DB (при условии, что указанные операции имеют смысл).

Для квадратных матриц А и B, вообще говоря,

Транспонирование матриц

Свойства: