Приложения определенного интеграла в геометрии

Неопределенный интеграл

Таблица интегралов

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. .

Основные свойства неопределенного интеграла

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. Если , то .

Определенный интеграл

1. – формула Ньютона-Лейбница.

2. – формула интегрирования по частям.

3. Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной слева и справа прямыми и , осью и сверху графиком функции (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

Приложения определенного интеграла в геометрии

4. Площадь криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат (рис. 1) вычисляется по формуле: . Если на (график функции лежит ниже оси ), то .

5. Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрически то площадь фигуры равна: , где и соответствуют значениям и .

6. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя лучами и в полярных координатах (рис. 2) вычисляется по формуле: .

7. Если кривая задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат, то длина этой кривой от точки до точки вычисляется по формуле: . Если кривая определяется уравнением , то .

8. Если кривая задана параметрически , то длина кривой вычисляется по формуле: , где и соответствуют значениям и .

9. Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то ее длина между лучами и равна: .

10. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 1), вычисляется по формуле: . Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то объем тела вращения равен , причем .

11. Если криволинейная трапеция ограничена кривой (), осью и прямыми и (рис. 3), то объем полученного тела вращения вокруг оси равен: .

Рис. 3

12. Если дуга кривой, заданная в декартовых прямоугольных координатах , где , вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .

13. Если дуга кривой , где вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .

14. Если дуга кривой задана параметрически где , то площадь поверхности вращения вокруг оси равна: .

15. Если дуга задана в полярных координатах , где , то .