Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определитель 2-го и 3-го порядков ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Понятие определителя связано с понятием квадратной матрицы. Определитель квадратной матрицы – это число, поставленное в соответствие данной матрице: Обозначается: = d= D = det A =|A|=
A2= .,det A2= a11*a22-a21*a12
A2 = =4+3=7 Правило Сарруса
A3= , det A3= = , где a11, а22, а23 – главная диагональ а31, а22, а13 – побочная диагональ
A3= = 2*5*2+3*4*4+3*1*1-1*4*2-3*3*2=25
Теорема Лапласа (точнее частный случай Т.Л.) Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: = ai1Аi1 + ai2 Ai2+…+ ainAin= is Ais– разложение по элементам i-й строки; = a1jА1j + a2j A2j+…+ anjAnj= sjAsj– разложение по элементам j-ого столбца;
Пример: вычислить определитель матрицы А А= , используя разложение по элементам а) первой строки; б) второго столбца.
а) Найдём алгебраические дополнения элементов первой строки:
А11=(-1)1+1 = 1-6=-5
А12=(-1)1+2 = -(5-0) = -5
А13=(-1)1+3 = 15-0=15 по т. Лапласа: = a11A11+ a12 A12+ a13 A13 = 1(-5)+2(-5)+0+15=-15
б) Найдём алгебраические дополнения элементов второго столбца: А12=(-1)2+1 = (-1)35=-5 А22=(-1)2+2 = 1 А32=(-1)3+2 = -1-2=-2 по т. Лапласа: = a12A12+ a22 A22+ a32 A32 = =2(-5)+1*1+3*(-2)= -10+1-6=-15 Ответ: -15. Д/3 Найти определитель разложением его по элементам первой строки
= = 2*(-1)1+1 +1*(-1)1+2 +3*(-1)1+3 =
= 2(6-20)-(-2-5)+3(-4-3)=2*(-12)+7-21=-28-14=-42 Ответ:-42
Пример. Вычислить определитель. Det A= Решение. Приведём определитель к виду, в котором в первой строке будут числа 1,0,0,0. Для этого первый столбец будем прибавлять к последующим столбцам, умножая его на числа (-2); (-3); (+4)
detA= = = воспользуемся разложением полученного определителя по элементам первой строки: a11A11+0+0+0=1*(-1)1+1M11=1*(-1)1+1 =3*(-10)*11+ (-5)*(-4)*(-3)+5*14*(-5)-(-5)*(-10)*(-3)-3*(-4)*14-(-5)*5*11=-330-60-350+150+168+273=-149 Ответ: -149
Обратная матрица.
Обращение матриц второго и третьего порядка. Квадратная матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если её умножение как справа, так и слева на данную матрицу приводит к единичной матрице. А-1*А=А*А-1=E.
Только квадратная матрица имеет обратную и тоже квадратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную, а только та, ≠0 у которой определитель ≠0 называется она невырожденной или неособенной. В случае если =0, то матрица вырожденная или особенная.
Теорема. Любая неособенная матрица имеет единственную обратную ей матрицу, нахождение обратной матрицы называется Обращения данной матрицы. Для обращения матрицы можно воспользоваться формулой:
Матрица называется союзной по окончанию к матрице А. Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1) Найти определитель данной (исходной) матрицы (если ≠0 то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует). 2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А. 3) Составляем союзную и обратную матрицы. 4) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы A-1, исходя из определения A-1*A=A*A-1=E
Пример. Обратить матрицу первого порядка.
Решение. 1) Вычисляем определитель данной матрицы: = = 1*1*3+3*1*(-2)+0*2*1-0*1*(-2)-1*1*1-3*2*3=3-6+0-0-1-18=-22
2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
3) Составляем союзную и обратную матрицы:
4) Проверка. = =
И А-1*А=Е аналогично.
Задание 1. Представим систему в виде матричного уравнение A*x=В, тогда Решением такого уравнения является вектор-столбец X=A-1*B, если detA≠0 Обратим матрицу А: detA=1*(-1)*1+1*1*2+2*1*(-1)-(-1)*(-1)*2-1*2*1-1*1*1=-1+2-2-2-2-1=-6
x=3-y+z 6-2y+2z-y+z=0 6-3y+3z=0
Z=y-2 3-y+y-2 2x+y+y-2=4 2(3-y+y-2)+2y-2=4 2+2y-2=4 2y=4 Y=2 Z=0 X=3-2+0=1 1+2-0=3-ϐ 2-2+0=0- ϐ 2+2+0=4- ϐ
|