Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Определитель 2-го и 3-го порядков





Понятие определителя связано с понятием квадратной матрицы. Определитель квадратной матрицы – это число, поставленное в соответствие данной матрице:

Обозначается: = d= D = det A =|A|=

 

A2= .,det A2= a11*a22-a21*a12

 

A2 = =4+3=7 Правило Сарруса

 

A3= , det A3= = , где a11, а22, а23 – главная диагональ

а31, а22, а13 – побочная диагональ

 

A3= = 2*5*2+3*4*4+3*1*1-1*4*2-3*3*2=25

 

 

Теорема Лапласа (точнее частный случай Т.Л.)

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

= ai1Аi1 + ai2 Ai2+…+ ainAin= is Ais– разложение по элементам i-й строки;

= a1jА1j + a2j A2j+…+ anjAnj= sjAsj– разложение по элементам j-ого столбца;

 

Пример: вычислить определитель матрицы А

А= , используя разложение по элементам а) первой

строки; б) второго столбца.

 

а) Найдём алгебраические дополнения элементов первой строки:

 

А11=(-1)1+1 = 1-6=-5

 

А12=(-1)1+2 = -(5-0) = -5

 

А13=(-1)1+3 = 15-0=15

по т. Лапласа: = a11A11+ a12 A12+ a13 A13 = 1(-5)+2(-5)+0+15=-15

 

б) Найдём алгебраические дополнения элементов второго столбца:

А12=(-1)2+1 = (-1)35=-5

А22=(-1)2+2 = 1

А32=(-1)3+2 = -1-2=-2

по т. Лапласа: = a12A12+ a22 A22+ a32 A32 =

=2(-5)+1*1+3*(-2)= -10+1-6=-15 Ответ: -15.

Д/3 Найти определитель разложением его по элементам первой строки

 

= = 2*(-1)1+1 +1*(-1)1+2 +3*(-1)1+3 =

 

= 2(6-20)-(-2-5)+3(-4-3)=2*(-12)+7-21=-28-14=-42

Ответ:-42

 

 

Пример. Вычислить определитель.

Det A=

Решение. Приведём определитель к виду, в котором в первой строке будут числа 1,0,0,0. Для этого первый столбец будем прибавлять к последующим столбцам, умножая его на числа (-2); (-3); (+4)

 

detA= = = воспользуемся разложением полученного определителя по элементам первой строки:

a11A11+0+0+0=1*(-1)1+1M11=1*(-1)1+1 =3*(-10)*11+ (-5)*(-4)*(-3)+5*14*(-5)-(-5)*(-10)*(-3)-3*(-4)*14-(-5)*5*11=-330-60-350+150+168+273=-149

Ответ: -149

 

 

Обратная матрица.

 

Обращение матриц второго и третьего порядка.

Квадратная матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если её умножение как справа, так и слева на данную матрицу приводит к единичной матрице.

А-1*А=А*А-1=E.

 

Только квадратная матрица имеет обратную и тоже квадратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную, а только та, ≠0 у которой определитель ≠0 называется она невырожденной или неособенной. В случае если =0, то матрица вырожденная или особенная.

 

Теорема. Любая неособенная матрица имеет единственную обратную ей матрицу, нахождение обратной матрицы называется Обращения данной матрицы.

Для обращения матрицы можно воспользоваться формулой:

 

Матрица называется союзной по окончанию к матрице А.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1) Найти определитель данной (исходной) матрицы (если ≠0 то матрица А – невырожденная и обратная матрица существует).

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

3) Составляем союзную и обратную матрицы.

4) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы A-1, исходя из определения A-1*A=A*A-1=E

 

 

Пример. Обратить матрицу первого порядка.

 

Решение.

1) Вычисляем определитель данной матрицы: =

= 1*1*3+3*1*(-2)+0*2*1-0*1*(-2)-1*1*1-3*2*3=3-6+0-0-1-18=-22

 

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

 

 

3) Составляем союзную и обратную матрицы:

 

4) Проверка.

=

=

 

И А-1*А=Е аналогично.

 

Задание 1.

Представим систему в виде матричного уравнение A*x=В, тогда

Решением такого уравнения является вектор-столбец

X=A-1*B, если detA≠0

Обратим матрицу А: detA=1*(-1)*1+1*1*2+2*1*(-1)-(-1)*(-1)*2-1*2*1-1*1*1=-1+2-2-2-2-1=-6

 

x=3-y+z

6-2y+2z-y+z=0

6-3y+3z=0

2(3-y+2+z)=2(5-y+z) 10-2y+2z
2-y+z=0

Z=y-2

3-y+y-2

2x+y+y-2=4

2(3-y+y-2)+2y-2=4

2+2y-2=4

2y=4

Y=2

Z=0

X=3-2+0=1

1+2-0=3-ϐ

2-2+0=0- ϐ

2+2+0=4- ϐ

 

Date: 2015-09-02; view: 284; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию