Сложение и вычитание матриц

Виды матриц.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, или просто строкой, и из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом, или просто столбцом.

A = (a₁₁ , a_12, …, a_1n ) – матрица – строка

в₁₁

_{В =} в₂₁ - матрица столбца

…

В_m1

Матрицу называют квадратной n-го порядка, если число строк равно числу столбцов.

5 1 3

B= -5 2 4 - квадратная матрица 3^го порядка.

1 0 0

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а_11, а_22, а₃₃ – главная диагональ

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Если все элементы кроме элементов на главной диагонали квадратной матрицы равно 0, то матрица называется диагональной.

1 0 0

А = 0 5 0

0 0 -4

Если все элементы главной диагонали квадратной матрицы равно 1, то матрица называется единичной. Обозначается Е.

1 0 0

Е = 0 1 0

0 0 1

Матрица называется нулевой, если все элементы равны нулю.

0 0 0….0

0 = 0 0 0…0

Mxn - - -

0 0 0…0

Действия над матрицами.

Равенство матиц.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк (m) и одинаковое число столбцов (n) и их соответствующие элементы равны.

1 -5 0 1 -5 0

A = 2 12 9 В= 2 12 9

7 14 20 7 14 20

Сложение и вычитание матриц.

Суммой двух прямоугольных матриц А и В равных размеров (mxn) называют матрицу с того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т.е. А + В = С, если а_ij+ b_ij= c_ij

a₁₁ a₁₂ a₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃

A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ В = в₂₁ в₂₂ в₂₃

а₃₁ a₃₂ a₃₃ в₃₁ в₃₂ в₃₃

а₁₁₊в₁₁ а₁₂+в₁₂ а₁₃+в₁₃

С = А+В = а₂₁₊в₂₁ а₂₂+в₂₂ а₂₃+в₂₃

а₃₁₊в₃₁ а₃₂+в₃₂ а₃₃+в₃₃

Пример 1. Найти сумму матриц А и В, если

А = 3 -2 7 -5 В = 1 4 -2 5

-4 1 -3 2 -2 3 0 -5

С=А+В= 3+1 -2+4 7-2 -5+5 = 4 2 5 0

-4-2 1+3 -3+0 2-5 -6 4 -3 -3

Сумму матриц понимают в алгебраическом смысле. Разностью двух матриц А и В равных размеров называют матрицу D того же размера, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц А и В, т.е. А-В=D, если а_ij-b_ij=d_ij

Пример 2. Найти разность матриц А и В, если

2 4 -5 4 -2 3

А= 7 8 1 В = 5 -7 -2

-3 4 2 5 3 4

2-4 4-(-2) (-5)-3 -2 6 -8

D=A-B= 7-5 8-(-7) 1-(-2) = 2 15 3

-3-5 4-3 2-4 -8 1 -2

Нахождение суммы матриц распространяется на любое число матриц. Сумма матриц подчиняется следующим законом:

1) Переместительному, т.е. А+В=В+А;

2) Сочетательному, т.е. (А+В)+С=А+(В+С)

3. Умножение матрицы на число