Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где x^k — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где — j -я координата k -го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец x^k даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.