Представление чисел в различных системах счисления

Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы - цифры, а числа получаются в результате операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения в последовательности цифр, изображающих число.

Для получения весовых коэффициентов каждого разряда необходимо возвести основание системы счисления в степень, начиная с нулевой.

Основанием позиционной системы счисления Х называют число единиц младшего разряда, объединяемых в единицу старшего разряда. Такую систему счисления называют Х-ричной.

Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления. Обычно в различных системах счисления используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы. Для того чтобы отличать числа, записанные одинаковыми символами, в конце записи принято ставить индекс, соответствующий системе счисления (первая буква ее названия).

Запись произвольного целого числа N в позиционной системе счисления основывается на его представлении в виде многочлена:

N = a_nXⁿ + a_{n -1} X^{n -1} +... + a ₁ X ¹ + a ₀ X ⁰ ,

Десятичная система счисления (Decimal, DEC, d) имеет основание равное 10, для записи чисел используются десять цифр от 0 до 9, каждый старший позиционный разряд десятичного числа образуется при объединении десятка единиц младших разрядов. Индекс после числа, как правило, не указывают. Разряды десятичного числа образованы от значений весовых коэффициентов: единицы соответствуют значению 10⁰ = 1, десятки – 10¹ = 10, сотни – 10² = 100 и т.д.

Например, число 123 соответствует записи:

1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ = 123

В двоичной системе счисления(Binary, BIN, b) основание равно 2, числа записываются комбинациями цифр 0 и 1. Младший разряд соответствует значению 2⁰=1, далее по возрастанию 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16 …

Следовательно, числу 123 будет соответствовать запись:

1 × 2⁶+1 × 2⁵+1 × 2⁴+1 × 2³+0 × 2²+1 × 2¹+1 × 2⁰ = 111 1011 b