Системы дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений вида

,

(11.1)

где х ₁, х ₂, … х _n – неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой (системой в нормальной форме) или системой, разрешённой относительно производных от неизвестных функций x _i = x _i(t). Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно х ₁, х ₂, … х_{n ,} то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Нормальная система двух дифференциальных уравнений первого порядка записывается в виде:

. (11.2)

Решением системы (11.2) называется всякий набор из двух функций , обращающих оба уравнения системы в тождества.

Задача Коши для системы (11.2) состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при принимало бы заданные значения:

.

(11.3)

Общее решение системы (11.2) содержит две произвольные постоянные С ₁, С ₂, фиксируя которые находят любое частное решение в области изменения начальных условий . Неявная запись решений:

.

(11.4)

Соотношения (11.4) называют первыми интегралами системы.

Геометрически решение определяет некоторую линию (интегральную кривую системы) на плоскости . Если считать, что аргумент t играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости . В этом случае определяет вектор скорости. С механической точки зрения система (11.2) означает задание поля скоростей в каждый момент времени t, а решение задачи Коши равносильно нахождению траектории точки, движущейся под воздействием этого поля и занимающей в начальный момент времени положение (a, b). Плоскость , на которой рассматривается движение, называется фазовой.

Рассмотрим два метода решения систем дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Метод нахождения интегрируемых комбинаций

Сущность этого метода состоит в том, что с помощью арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, то есть легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Пример 1. Решить систему уравнений , .

D Складывая почленно эти уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

, , , .

Почленно вычитая из первого уравнения системы второе, получаем другую:

, , ,

Из найденных уравнений определяем решение системы

, , или ,

где , . Ñ

Пример 2. Решить систему уравнений , .

Ñ Замечаем, что при сложении уравнений системы в правой части пропадают неизвестные х и у. То же самое происходит при сложении уравнений с множителями х и у соответственно:

,

Или

dx +dy = -dt, xdx + ydy = − tdt.

Интегрируя эти равенства и перенося влево член с t, получим первые интегралы системы в виде:

x+ y +t =C ₁, x ² + y ² + t ² =C ₂.

Отсюда можно выразить х и у через t, C ₁, C ₂.т.е. получить общее решение системы. Ñ

Геометрическая интерпретация. Эти интегралы в пространстве задают окружность как пересечение сферы x ² + y ² + t ² =C ₂ c плоскостью x+ y +t =C ₁ . Проектируя эту окружность на фазовую плоскость , получим на ней эллипс. Его уравнение находится исключением t из первых интегралов.

Пример 3. Решить систему уравнений , .

D Умножив обе части первого уравнения на у, а второго – на х и сложив почленно полученные уравнения, имеем

или .

Отсюда xу =C ₁ t _. (*)

Вводя (*) в первое уравнение системы, получим .

Интегрируя это уравнение, находим х:

, , .

Из равенства (*) в случае имеем .

Кроме того, если у = 0, из первого уравнения системы х = С, а если х = 0, то из второго уравнения у = Сt. Ñ

Метод исключения неизвестных

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удаётся привести к одному уравнению более высокого порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Общая схема приведения состоит в следующем. Дифференцируя, например, первое из уравнений (11.1) последовательно (n- 1) раз и подставляя каждый раз вместо производных их значения, из остальных уравнений этой же системы имеем

= F 1 (t, x 1, x 2,… x n),
= F 2 (t, x 1, x 2,… x n),
…….……………………	(11.5)
= F n-1 (t, x 1, x 2,… x n),
= F n (t, x 1, x 2,… x n).

Определив х _2, х ₃, … х _n из первых (n- 1) уравнений системы (11.5) и подставив эти выражения в последнее уравнение системы, получим дифференциальное уравнение n- ого прядка

=F .

(11.6)

Решив это уравнение, найдём решения исходной системы уравнений.

Пример 4. Решить систему уравнений , .

D Дифференцируя обе части первого из данных уравнений, имеем

. (**)

Из второго уравнения находим

.

Подставив это выражение в (**), получим уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Для его решения составим и решим характеристическое уравнение:

k ² – 2 ak +(1 +a ²) = 0, k _1,2 = a ± .

Следовательно, x = e^at (C ₁ cos t + C ₂ sin t). Из первого уравнения исходной системы определяем y (t):

y= − ax=ae^at (C ₁ cos t + C ₂ sin t)+ e^at (− C ₁ sin t+ C ₂ cos t) − ae^at (C ₁ cos t + C ₂ sin t) = =e^at (− C ₁sin t + C ₂ cos t). Ñ

Пример 5. Решить систему уравнений ,

D Дифференцируя второе уравнение: и учитывая, что, согласно первому , имеем . Отсюда .

Далее находим и подставляем во второе уравнение системы:

, где , . Ñ

Пример 6. Решить систему уравнений ,

D Дифференцируя обе части первого из данных уравнений, имеем

. (***)

Из второго уравнения находим , поэтому уравнение (***) можно представить в виде .

Общее решение этого уравнения: . Из первого уравнения системы находим . Ñ

Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

=a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+a_1nx_n

=a₂₁x₁ + a₂₂x₂+…+a_2nx_n (11.7)

……………………………..…

=a_n1x₁ + a_n2x₂+…+a_nnx_n..

Здесь t – аргумент, x ₁(t), x ₂(t),… x _n(t)- искомые функции, – постоянные. Система (11.7) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n -ого порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (11.7) и другим методом, не сводя к уравнению n- ого порядка. Рассмотрим его на примере решения системы двух уравнений

=a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂

=a ₂₁ x _{1 +} a₂₂x₂ (11.7а)

Будем искать частное решение системы в виде:

Требуется определить постоянные a₁, a₂ и k так, чтобы функции a ₁ e^kt, a ₂ e^kt удовлетворяли системе уравнений (11.7а). Подставляя их в систему (11.7а), получаем:

ka ₁ e^kt = (a ₁₁ a ₁ + a ₁₂ a ₂) e^kt

ka ₂ e^kt = (a ₂₁ a ₁ + a ₂₂ a ₂) e^kt

Сократим на e^kt. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при a ₁ и a ₂, получим систему уравнений:

(a₁₁- k) a₁ + a₁₂a₂ = 0

(11.9)

a₂₁a ₁+ (a₂₂- k) a₂ = 0

Для того чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:

a₁₁ –k a₁₂

=0 (11.10)

a₂₁ a₂₂ –k

Уравнение (11.10) называется характеристическим уравнением системы (11.9). Из уравнения (11.10) мы и получаем те значения k, при которых система (11.9) имеет нетривиальные решения.

Ограничиваясь рассмотрением случая, когда корни характеристического уравнения (k ₁ и k ₂) действительные и различные, на основе системы уравнений (11.9) находим

,

и

, .

Ее общим решением является система функций

(11.11)

Пример 7. Решить систему уравнений , .

D Частные решения этой системы ищем в виде x ₁ = ae^kt, x ₂ = be^kt (новые обозначения искомых постоянных ввели для удобства записи). Подставляя эти выражения в данную систему, для определения a и b получим линейную однородную систему уравнений

(5 − k) a+ 2 b = 0

(*)

−4 a + (−1− k) b = 0.

Составляем характеристическое уравнение:

5− k 2

=0

−4 −1− k

и находим его корни: k ₁ = 1, k ₂ = 3.

При k = k ₁ = 1 система уравнений (*) эквивалентна уравнению 4 a + 2 b = 0, одно из решений которого есть a =1, b = −2. Поэтому x ₁⁽¹⁾ = e^t, x ₂⁽¹⁾ = −2 e^t являются решением исходной системы уравнений.

Подставив корень k = 3 в систему (*), получим эквивалентное ей уравнение 2 a + 2 b = 0. Одно из его решение есть a = 1, b = −1. Таким образом, найдено ещё одно решение исходной системы уравнений: x₁⁽²⁾ = e^3t, x₂⁽²⁾ = −e ^3t.

Поскольку

e^t e ^{3 t}

= e ^{4 t}¹ 0,

−2 e^t − e ^{3 t}

найденные два решения являются линейно независимыми, а следовательно, образуют фундаментальную систему решений.

Поэтому общее решение исходной системы будет

x ₁ =C ₁ e^t + C ₂ e ^{3 t}

x₂ = −2 C ₁ e^t – C ₂ e ^{3 t} ,

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные. Ñ

Раздел «Дифференциальные уравнения» в программе курса математики на технологических факультетах обеспечивается лишь шестью лекциями. Поэтому важно в рамках самостоятельной работы углубит и расширить полученные знания, изучить как учебную литературу, так и специальные монографии, рекомендуемые преподавателями. Очень советую познакомиться, в частности, с замечательными книгами: А.М. Смойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. «Дифференциальные уравнения: примеры и задачи». «Высшая школа». 1989; В.В. Амелькин. «Дифференциальные уравнения в приложениях». «Наука». ГРФМЛ. 1987.

Важно получить представление о возмодностях использования дифференциальных уравнений при изучении реальных явлений и процессов, осознать широкое использование при их составлении геометрического и физического смысла производной, а также законов естественных наук. В качестве примеров полезно рассмотреть задачи о движении точки под действием постоянной и периодической силы, а также силы, пропорциональной скорости, о колебании точки под действием упругой силы, задачу о колебаниях математического маятника.

Наконец, необходимо с методами приближенных решений, с качественной теорией дифференциальных уравнений, одним из основных вопросов которой является проблема устойчивости решения или устойчивости движения.Этот вопрос исследован в работах выдающегося русского математика А.М. Ляпунрва (1857-1918).

Желаю Вам, мои юные друзья, успехов в учебе и прошу высказать критические замечания по содержанию представленного конспекта лекций. Это очень важно для мен в деле дальнейшего совершенствования учебного процесса.

Date: 2015-09-02; view: 1085; Нарушение авторских прав