D Составляем характеристическое уравнение

и находим его корни: , . Следовательно, общим решением является функция .

Дифференцируя общее решение, найдем

Постоянные и находим из начальных условий:

Отсюда и . Итак, искомым частным решением является функция

.

Важным частным случаем решения (8.7) является случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. Это имеет место, когда в уравнении (7.1) , и оно имеет вид

.

(7.1а)

Характеристическое уравнение

, >0

(8.2а)

имеет корни .

Решение (8.7) принимает вид:

Ñ (8.7а)

Пример 5. Общим решением уравнения , которому соответствует характеристическое уравнение с корнями , ,

является функция .

D На основании изложенного получаем алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Записываем дифференциальное уравнение в виде (7.1): .

2. Составляем его характеристическое уравнение (8.2): .

3. Вычисляем дискриминант .

а) Если >0, то уравнение имеет два разных корня и , а общее решение записывается в виде (8.4):

б) Если =0, то уравнение имеет два равных корня , а общее решение записывается в виде (8.6):

.

в) Если <0,то уравнение имеет комплексно сопряженные корни , а общее решение записывается в виде (8.7)

.

Для практического использования указанный алгоритм оформим в виде следующей таблицы:

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	>0	=0	<0
Корни характеристического уравнения
Множество Решений

Date: 2015-09-02; view: 438; Нарушение авторских прав