Уравнение связи между гравитационным и магнитным потенциалами

Пусть задано тело объема V, однородное по плотности и однородное по намагниченности. Установим для него связь между значениями гравитационного и магнитного потенциала. Из формулы (3), где

, получим

, (7)

Если r = const, то умножим и разделим правую часть на , тогда

, где на основании формулы потенциала притяжения объемных масс:

; (8)

; (9)

где U – магнитный потенциал, V – потенциал притяжения, G – гравитационная постоянная (6,67*10^-8 см³/(гс²) – СГС; 6,67*10^-11 н(м²/кг²)– СИ), - направление намагничивания, J – интенсивность намагничивания (разность намагниченности тела и среды), - избыточная плотность.

Магнитный потенциал однородного по плотности и однородно намагниченного тела равен произведению отношения на производную гравитационного потенциала тела.

Перепишем (4) через производную гравитационного потенциала по осям x, y, z:

,

т.к и совпадают,

(10),

где - производные потенциала по переменным x, y, z.

J_x, J_y, J_z – проекции вектора J на оси координат . (11)

Формулы (9) и (10), связывающие гравитационный и магнитный потенциалы тела, являются уравнениями Пуассона. Применяются при решении задач гравиразведки и магниторазведки.

Найдем выражение, определяющее значение проекции силы магнитного поля Т (напряженности поля) по направлению осей координат. Т.к.

, (12)

то, используя равенство (5), найдем составляющие напряженности поля.

(13)

–производные потенциала гравитационного поля по переменным x,y,z.

J_x, J_y, J_z– проекции вектора J на оси.

Составляющие X, Y, Z магнитного поля равны производным магнитного потенциала по соответствующим направлениям.

В случае двумерных гравитационных и магнитных аномалий при J_y=0; V_y=0 равны нулю и все значения производных от V, в индексы которых входят y, тогда:

(14)

(15)

(16)

H – горизонтальная составляющая магнитного поля; Z – вертикальная составляющая магнитного поля.

При вертикальном намагничивании (J_x=J_y=0; J_z=y-трехмерная аномалия) J=1:

; ; (17)

; ; . (18)

Для двумерных аномалий при вертикальном намагничивании будут справедливы эти же формулы. Таким образом, аналитическое выражение магнитного потенциала может быть представлено первой производной гравитационного потенциала. Напряженность магнитного поля может быть представлена второй производной гравитационного потенциала.