Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций

Функция переменных называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно . В этом случае частные производные функции находятся в результате дифференцирования функции по свободным переменным и по зависимой переменной .

В случае, если – функция одной переменной , заданная уравнением , то .

В двумерном случае, если – функция двух переменных и , заданная уравнением , то .

В общем случае, если – функция переменных, заданная уравнением , то частные производные находятся по формулам:

, , …, .

Если в задана сложная зависимость , т.е. функция определена в области , а семейство функций определены в и области изменения функций этого семейства содержатся во множестве , то если функция определена в области и непрерывна в , а семейство функций определены в , непрерывны в и имеет в этой точке непрерывные первые производные, а также при условии, что функции:

являются непрерывными в точке и имеют в этой точке непрерывные первые производные, то .

Тогда при дифференциальном анализе функциональной зависимости справедливы следующие соотношения:

Если сложная функция имеет в точке непрерывные первые производные, то она является дифференцируемой в этой точке, и ее полный дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности и имеет вид:

Различие между полными дифференциалами простой и сложной функций состоит в том, что для простой функции приращение независимой переменной равно ее дифференциалу, а для сложных функций это равенство не выполняется.