Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия

Наличие конечной производной является необходимым и достаточным условием для дифференцируемости функции одной переменной. Для функции нескольких переменных существование конечных частных производных по всем независимым переменным, т.е. существование вектора-градиента в точке – необходимое условие дифференцируемости функции. Однако это условие не является достаточным для дифференцируемости функции многих переменных.

Достаточное условие дифференцируемости.

Теорема. Для того чтобы , определенная в области и непрерывная в точке была дифференцируема в этой точке, достаточно, чтобы эта функция имела непрерывные частные производные в некоторой окрестности , и эти частные производные были непрерывны в точке .

Следствием теоремы является существование в некоторой окрестности точки ограниченного вектора-градиента , непрерывного в .