О числе

§ 4.

Ф и л а л е т. Числовые идеи более точны и различимы одна от другой, чем идеи протяжения, в которых не так легко подметить и измерить всякое равенство и неравенство, ибо в пространстве наша мысль не может найти определенной малой величины, подобной единице среди чисел, за пределы которой нельзя идти.

Т е о ф и л. Это относится к целому числу. Что же касается числа во всем его объеме, т. е. дробных, иррациональных и трансцендентных чисел, и всего того, что можно взять между двумя целыми числами, то оно пропорционально линии, и здесь, как и у континуума, тоже нет минимума. Поэтому определение числа как совокупности единиц верно лишь в применении к целым числам. Точное различие идей в области протяжения не заключается

==155

в величине; для отчетливого определения величины приходится прибегнуть к целым числам и к другим числам, известным посредством целых, вследствие чего для точного определения величины приходится перейти от непрерывного количества к дискретному. Таким образом, если не пользоваться числами, модификации протяжения могут быть различаемы лишь с помощью фигуры в широком смысле этого слова, означающем все то, благодаря чему две протяженности не подобны друг другу.

§ 5.

Ф и л а л е т. Через повторение идеи единицы и соединение ее с другой единицей мы образуем собирательную идею, обозначаемую словом "два" Идя таким образом вперед и прибавляя все время по одной единице к последней полученной собирательной идее и давая ей особое название, можно считать до тех пор, пока хватит запаса названий и памяти для удержания этого запаса.

Т е о ф и л. Одним этим способом нельзя было бы далеко уйти. Мы слишком перегрузили бы память, если бы пришлось запоминать совершенно новое название дл каждого прибавления новой единицы. Вот почему требуютс известный порядок и известная повторяемость (replication) в этих названиях, которые с известной последовательностью начинаются сызнова.

Ф и л а л е т. Различные модусы чисел могут отличаться друг от друга лишь по величине, поэтому они простые модусы, подобно модусам протяжения.

Т е о ф и л. Это можно сказать о времени и о прямой линии, но ни в коем случае но о фигурах и тем более не о числах, которые не только не отличаются друг от друга по величине, но, кроме того, и не сходны между собой. Четное число можно разделить поровну на две части, а нечетное нельзя. Три и шесть - треугольные числа, четыре и девять - квадраты, восемь - куб и т. п. Сказанное относится к числам еще больше, чем к фигурам, так как две неравные фигуры могут быть совершенно подобны друг другу, чего нельзя никогда сказать о двух числах. Но я не удивляюсь тому, что в этом вопросе часто ошибаются, так как обыкновенно не имеют отчетливой идеи того, что подобно и неподобно. Вы видите, таким образом, что Ваша идея или Ваше объяснение простых и смешанных модификаций требуют значительных поправок.

§ 6. Ф и л а л е т. Вы правильно заметили, что полезно дать числам названия, которые можно удержать в памяти.

Поэтому, по-моему, было бы рациональнее говорить при 2, XVI

==156

счете для сокращения вместо "миллион миллионов" биллион, а вместо "миллион миллионов миллионов" триллион и т. д. до нониллионов, поскольку при употреблении чисел нет нужды идти далее этого.

Т е о ф и л. Эти названия довольно удачны. Пусть X равняется 10. В таком случае миллион будет Х 6, биллион - Х 12, триллион - Х 18 и т. д., а нониллион X54.