Зауваження 1

Перший алгоритм дослідження функції на екстремум на інтервалі (а;в)

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти критичні точки функції , тобто точки, в яких або не існує і які належать інтервалу . Якщо таких точок немає, то функція екстремумів не має.

3. Дослідити знак похідної спочатку ліворуч, а потім праворуч від кожної критичної точки.

· Якщо при переході х через критичну точку х₀ похідна змінює знак з “+” на “-“, то в цій критичній точці функція має максимум.

· Якщо при переході х через критичну точку х₀ похідна змінює знак з “-” на “+“, то в цій критичній точці функція має мінімум.

· Якщо при переході х через критичну точку х₀ похідна не змінює знака, то в цій критичній точці функція не має ні максимуму ні мінімуму.

4. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

Т! (друга достатня ознака екстремуму функції).

Якщо х₀ – стаціонарна точка функції та , то в точці х₀ функція має екстремуму, причому максимум, якщо і мінімум, якщо .

Другий алгоритм дослідження функції на екстремум на інтервалі (а; в)

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти стаціонарні точки функції з рівняння які належать інтервалу . Якщо таких точок немає, то функція екстремумів не має.

3. Знайти і її значення у кожній стаціонарній точці. Якщо , то х₀ –точка мінімуму функції , коли і х₀ –точка максимуму функції , коли . Якщо , то необхідно скористатись першим алгоритмом.

4. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції f,

яка має на відрізку [a;b] скінчену кількість критичних точок:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти критичні точки функції на інтервалі [a;b].

3. Обчислити значення функції у критичних точках.

4. Обчислити і .

5. Серед знайдених значень функції вибрати найбільше і найменше.

Це і будуть найбільше: , та найменше: значення функції на відрізку [a;b].

Т е о р е м а 1 (достатня ознака опуклості графіка функції).

Нехай функція f має на інтервалі (a;b) похідну 2-го порядку . Тоді:

1) якщо , то графік функції f опуклий вгору на цьому інтервалі;

2) якщо , то графік функції f опуклий вниз на цьому інтервалі.

Інтервали, в яких графік функції опуклий вгору або вниз, називають інтервалами опуклості графіка функції.

Загальна схема дослідження функції.

1. Область визначення функції (область значень).

2. Парність, непарність функції(симетричність графіка).

3. Періодичність.

4. Асимптоти:

· вертикальні (в точках розриву ОДЗ );

· горизонтальні: , де ;

· похилі: , де .

5. Перетин з осями координат:

· З віссю : ;

· З віссю :

6. Дослідження функції за допомогою похідної:

· похідна функції

· критичні точки =0 або не існує.

· проміжки монотонності: - зростає; - спадає

· точки екстремуму ; екстремуми .

7. Дослідження функції на опуклість (точки перегину)

· друга похідна функції:

· визначаємо точки, в яких =0 або не існує, які належать інтервалу ; якщо таких точок немає, то функція точок перегину немає.

· визначити чи змінює знак при переході через ці точки;

· якщо змінює знак, то встановити інтервали опуклості.

8. Додаткові точки.

Таблиця невизначених інтегралів

Основні властивості визначних інтегралів

Медіана, яку проведено до гіпотенузи

У прямокутному трикутнику довжина медіани, що виходить з вершини прямого кута, дорівнює половині довжини гіпотенузи.

Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини основи, до якої її проведено, то цей трикутник прямокутний.

Співвідношення в прямокутному трикутнику

У прямокутному CD - висота, мають місце співвідношення:

1) 3)

2) 4) .