Целая и дробная часть числа

- целая часть числа - дробная часть числа

1. = х -
2. 0 < 1
3. Если х , то 0; если х < 0, то < 0
4. Если p – целое число, то =
5. выполняется , аналогично для
6. Если , то
7. Для любого натурального числа :
8. 
9. 
10. , - натуральное число
11. выполняется:
12. уравнение имеет или решений.

Основні властивості модуля.

1. ;
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 

Схеми розв’язування основних типів рівнянь та нерівностей з модулем:

1.

2. або

3.

4.

Схеми розв’язування основних типів ірраціональних рівнянь та нерівностей.

Рівняння рівносильне кожній з двох систем:

та

Рівняння рівносильне системі:

Нерівності:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Означення: Логарифмом числа за основою (, ) називається показник степеня , до якого треба піднести , щоб дістати число .

Те, що число є логарифмом числа за основою , записують так:

Вираз , де , ,має смисл лише при

Логарифми за основою 10 називають десятковими логарифмами і позначають .

Основна логарифмічна тотожність

Для будь-якого і виконуються рівності:

1. 6.

2. 7. , або

3. 8.

4. 9.

5. 10.

для будь-якого дійсного р. 11.

Логарифми з основою називають натуральними, або неперовими і позначають .

Означення: функцію задану формулою (1) називають логарифмічною функцією за основою а.

Перелічимо основні властивості логарифмічної функції.

1. Область визначення логарифмічної функції –множина всіх додатних чисел R₊, тобто D()= R₊.

2. Область значень логарифмічної функції - множина всіх дійсних чисел.

3. Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (якщо ) або спадає (якщо ).

Графіки показникової і логарифмічної функцій, що мають однакову основу, симетричні відносно прямої .

Логарифмічні рівняння

1. 
2. або
3. 

Логарифмічні нерівності

1. 2.

3.

4. і

5. і

Властивості числових нерівностей:

1.

2. якщо

3.

4. (нерівність Коші)

5. - середнє арифметичне

6. якщо . - середнє геометричне

7. якщо . - середнє гармонічне

8. якщо .

9. (нерівність трьох квадратів)

10. .

11. .

12.

13. .

14.

Нерівності з модулями і коренями:

1.

2.

3.

4.

5. Якщо

Визначні числові нерівності:

1. (середнє гармонічне додатних чисел не більше за середнє геометричне)

2. (середнє арифметичне чисел не більше за середнє квадратичне)

Рівність в обох формулах досягається лише за умови, що

3. - нерівність Коші – Буняковського для .

(нерівність має знак рівності, якщо )

4. - (наслідок з нерівності Коші –Буняковського)

5. - нерівність Чебишева для ,

6. - нерівність Чебишева для , .

7. - нерівність Бернуллі для

8. - нерівність Гельдера (справджується для додатних , раціональних , причому .

 

 

9. Нерівність Мінковського.

(знак нерівності потрібно змінити на протилежний, якщо )

 

Таблиця похідних деяких функцій

 

Елементарні функції	Складені функції	Правила диференціювання
		Сталий множник можна виносити за знак похідної     Похідна суми функцій, що диференціюються, дорівнює сумі їхніх похідних   Похідна добутку   Похідна частки

 

Застосування похідної

Механічний зміст похідної: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно за законом S=S (t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s¢(t):

v(t) = S¢(t).

Зауваження: прискорення руху матеріальної точки а(t) в момент часу t дорівнює похідній v¢(t):

a(t) = v¢(t) = S¢¢(t).

Геометричний зміст похідної: Значення похідної функції в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x :

= k = y=kx+b

y=f(x)

y₀

a

0 x₀

Рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою має вигляд:

Дві прямі і паралельні тоді і тільки тоді, коли .

Дві прямі і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли .

Кутом між графіками функцій і у точці їх перетину називається кут між дотичними до їх графіків у цій точці.

Величина кута між двома прямими і визначається із співвідношення:

Т! (достатня ознака зростання (спадання) функції).

· Якщо > 0 на інтервалі , то функція монотонно зростає на цьому інтервалі;

· Якщо < 0 на інтервалі , то функція монотонно спадає на цьому інтервалі.

“ Алгоритм дослідження функції на монотонність”

1. знайти область визначення функції і точки розриву;

2. Знайти похідну функції;

3. записати і розв’язати нерівність > 0 і вибрати з множини її розв’язків проміжки, де функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками зростання функції;

4. записати і розв’язати нерівність < 0 і вибрати з множини її розв’язків проміжки, де функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками спадання функції.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Date: 2015-08-15; view: 443; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...