Примечания. 1. Скорость, или время, нужное для прохождения данного расстояния, в данной точке математически выражается как v = ds/dt

1. Скорость, или время, нужное для прохождения данного расстояния, в данной точке математически выражается как v = ds/dt.

2. Как Ньютон подходил к ускорению? Вспомните главу о дифференциальном исчислении. Он описывал ускорение следующим образом. Он определял измеримые изменения скорости (например, от нуля до 20) как Av и считал, что в пределе (когда мы, так сказать, входим в поток) изменение скорости в точке может быть выражено ускорением, то есть a = dv/dt.

Точнее, он говорил, что в пределе, когда измеряемое время приближается к нулю, то есть в пределе, когда изменение во времени стремится к нулю, ускорение можно измерять как изменение скорости, деленное на прошедшее время, или, в математическом выражении

Зная скорость v и время t в различных точках, он мог вычислять среднее ускорение, поскольку ускорение a, или изменение скорости, деленное на время в данной точке, или при движении тележки, показанной на рис. 12.1, равно

a = (v 1 – v 2)/(t 1 – t 2).

Согласно тому, что мы узнали о дифференциальном исчислении, это теперь можно записать математически как а = dv/dt (считая, что в данной точке время становится малым, то есть t приближается к t, или Δt → 0). Таким образом, а = dv/dt – это переживаемое мгновенное ускорение, то есть темп, в котором вещи ускоряются или замедляются.

Иными словами, если вы едете на тележке по тротуару между точками 1 и 2, то для описания вашего движения можно использовать следующие расстояния, времена и скорости в данных точках (см. рис. 12.1).

Рис. 12.1. Тележка, движущаяся между двумя точками

Почему нам нужны все эти измерения времен и пространств? Расстояния недостаточно рассказывают вам о вашей тележке. Одних времен недостаточно. Скорости говорят больше! Но даже скоростей недостаточно. Нам нужно знать ваше ускорение – темп изменения скорости (точно так же, как скорость – это темп изменения расстояния).

Теперь мы имеем больше информации о тележке в точке х. Мы знаем, где находится ваша тележка, когда она там находится, ее скорость, а также то, ускоряется ли она, когда ее скорость меняется. Разумеется, нам неизвестно, кто ей управляет, какова духовная атмосфера в этой тележке, мы по-настоящему не чувствуем ее процесс. Все эти вещи, по крайней мере временно, маргинализируются нашей математикой. Мы можем прослеживать, как движется наша тележка. Давайте используем крайний пример и будем говорить, что тележка некоторое время движется прямо, но затем падает с обрыва. Осторожно! Впереди обрыв! Ой, тележка падает!

Рис. 12.2. Тележка упала с обрыва

Если бы вы не были так напуганы своим падением, то могли бы измерять свою высоту над землей в позициях 1 и 2.

Мы можем изобразить все это графически. Допустим, что за одну секунду вы падали на 1 фут, за две – на 2 фута, за три – на 3 фута. В координатах расстояния и времени ваш путь выглядел бы примерно так, как показано на рис. 12.3

Рис. 12.3. Гипотетическое расстояние падения во времени

На рисунке 12.3 расстояние, на которое вы упали в данный момент, представляет собой линейный график в координатах расстояния в футах и времени в секундах. Это отношение между пространством и временем вашего движения. Здесь скорость в любой момент или расстояние, проходимое в единицу времени, постоянны. Расстояние и время меняются, но их отношение остается неизменным. Вы падаете с одной и той же скоростью. Так думали люди до Галилея.Но в действительности ваше положение меняется быстрее, чем показывает линейный график 12.3. На самом деле можно измерить, что за одну секунду, отсчитываемую вашими часами, вы падаете примерно на 16 футов. Через две секунды оказывается, что вы упали примерно на 64 фута. За 3 секунды вы упадете примерно на 144 фута. С течением времени x растет все быстрее и быстрее! (А потом вас начинает тормозить воздух, не давая вам разогнаться еще сильнее.)

Рис. 12.4. Действительное расстояние, на которое падает ваша тележка с течением времени

График, показанный на рис. 12.4, описывается уравнением x = 16t2, где x – расстояние в метрах, а t – время в секундах. Проверьте это. Подставляя в уравнение 1 секунду, получаем 16 футов, две секунды в квадрате равно 4, 4 раза по 16 равно 64 и так далее. Это близко к тому, что вы измерите. Поскольку, согласно дифференциальному исчислению, v = dx/dt, скорость является функцией времени, или v = 32t. Так как a = dv/dt, a = 32 фута в секунду за секунду – это ускорение, создаваемое силой тяготения на поверхности земли.

3. Возможно, именно поэтому Олдос Хаксли однажды сказал: «Если бы мы развились в расу Ньютонов, это бы не было прогрессом. Ибо ценой, которую Ньютону приходилось платить за превосходный интеллект, была неспособность к дружбе, любви, отцовству и многим другим желательным вещам. Как человек, он был неудачником, как монстр, он был превосходен». Это высказывание Хакси приводится в статье Джона Кинза (John Keynes) «Ньютон, человек» в сборнике «Мир математики», (том 1).

4. Теория относительности предсказывает следующую формулу изменения массы в зависимости от скорости по отношению к наблюдателю: m0 √ [1 – v 2/ c 2], где √ означает квадратный корень, с – это скорость света, а m0 – так называемая масса покоя.

5. В первой главе книги «Тело шамана» я обсуждаю философию дона Хуана, который, подобно даосам, полагает, что все происходящее таинственно, во всем действуют непостижимые силы, и никто – ни ученый, ни мистик – не может делать ничего иного, кроме как вступать в союз с этими силами.