Дискретизация сигналов. Теорема Котельникова

Дискретизацию сигнала можно представить как

Дискретизация сигнала производится с помощью коммутирующего элемента или с помощью ключа через период , на дискретизированный сигнал. Основная задача при дискретизации состоит в том, чтобы обеспечить необходимые условия для обеспечения необходимой точности передачи и восстановления дискретизированного сигнала. Одно из возможных решений предложено академиком Котельниковым.

Теорема Котельникова: всякий непрерывный сигнал x(t), обладающий ограниченным спектром полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга во времени на интервалы .

Анализ полученного выражения – функция с ограниченным спектром имеет бесконечную протяженность во времени и состоит из суммы бесконечного числа членов, каждый из которых представляет собой одну и ту же функцию вида, но различающейся постоянными коэффициентами , определяющими значения функции в момент отсчета .

График x(y) называется функцией отсчетов. Т.о. если известны значения функции x(t) в точке отсчета, то она может быть полностью восстановлена для всех значений t посредством суммирования типовых функций отсчетов, соответствующими коэффициентами.

Практическое применение теоремы Котельникова из-за следующих затруднений: всякий реальный сигнал имеет конечную длительность, т.е. сигнал ограничен во времени – это приводит к бесконечно широкому спектру, что противоречит теореме Котельникова; при восстановлении сигнала оно производится приближенно, так как реализовать функцию отсчетов в отрицательной области времени физически не возможно. Один из возможных подходов к решению задачи ограничения спектра состоит в ведении понятия допустимой погрешности средней мощности спектра.