Основы алгебры логики, основные операции, аксиомы и теоремы

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 0 и 1. В дальнейшем переменные будем обозначать латинскими буквами х, у, z,.... В алгебре логики определено отношение эквивалентности (=) и три операции: дизъюнкция (операция ИЛИ), обозначаемая знаком V (+); конъюнкция (операция И), обозначаемая точкой, которую можно опускать (например, х·у=ху); отрицание (инверсия, операция НЕ), обозначаемое чертой над переменными или элементами 0 и 1 (например, , ). Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим свойствам: х = х -рефлексивность; если х = у, то у = х - симметричность; если х = у и у = z, то x = z - транзитивность. Из отношения эквивалентности следует принцип подстановки: если х = у, то в любой формуле, содержащей х, вместо х можно подставить у, и будет получена эквивалентная формула.

Определение

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания.

Высказывания строятся над множеством {B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции:

отрицание (унарная операция),

конъюнкция (бинарная),

дизъюнкция (бинарная),

а логический ноль 0 и логическая единица 1 — константы.

Так же используются названия

· Дизъю́нкт — пропозициональная формула, являющаяся дизъюнкцией одного или более литералов (например ).

· Конъюнкт — пропозициональная формула, являющаяся конъюнкцией одного или более литералов (например ).

Унарная операция отрицания в тексте формул оформляется либо в виде значка перед операндом () либо в виде черты над операндом (), что компактнее, но в целом менее заметно.

Аксиомы]

1. , инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Логические операции[

Простейший и наиболее широко применяемый пример такой алгебраической системы строится с использованием множества B, состоящего всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нулём, а Истина — с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать^{[ неопределённость ]}, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказываний изучает высказывания и предикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие какэквиваленция («тогда и только тогда, когда»), импликация («следовательно»), сложение по модулю два («исключающее или»), штрих Шеффера , стрелка Пирса и другие.

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено»), комплексную логику и др.

Свойства логических операций

1. Коммутативность: x y = y x, {&, }.

2. Идемпотентность: x x = x, {&, }.

3. Ассоциативность: (x y) z = x (y z), {&, }.

4. Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:

· ,

· ,

· .

5. Законы де Мо́ргана:

· ,

· .

6. Законы поглощения:

· ,

· .

7. Другие (1):

· .

· .

· .

· .

· , инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания.

8. Другие (2):

· .

· .

· .

· .

9. Другие (3) (Дополнение законов де Мо́ргана):

· .

· .