Примеры. Основные свойства преобразования Фурье

Одномерный случай

Рассмотрим примеры Фурье-преобразования, ориентируясь на оптические задачи. Задана щель шириной 2a.

Рис. 2.2. Схематическое изображение щели шириной 2a

Пример. 1. Расчет Фурье-преобразования от щели, шириной 2а

При выполнении расчета воспользовались формулой Эйлера

Пример. 2. Теорема масштабов Увеличим размер щели в два раза. Ширина щели станет равной 4а.

Увеличение ширины щели в два раза привело к двукратному увеличению амплитудного множителя и двукратному уменьшению периода функции Фурье-распределения.

Пример. 3. Свойство смещения (инвариантность) Сместим щель шириной 2а на расстояние 2a в положительном направлении оси x (рис. 2.3). Смещение щели привело к появлению фазового множителя e−2ωa. Величина амплитудного множителя и период функции Фурье- распределения не изменился.

Сместим щель в другую сторону также на величину 2а.

При смещении щели в другую сторону в выражении для Фурье- преобразования изменился только знак фазового множителя. Распределение амплитуды осталось неизменным. Мы наблюдаем свойство инвариантности для распределения амплитуды Фурье-преобразования.

Пример. 4. Свойство интерференции Просуммируем выражения, описывающие распределения амплитуды поля при смещении объекта

Пример. 5. Свойство суперпозиции Представим щель шириной 4а в виде суперпозиции двух щелей шириной 2а. Щели совпадают своими границами (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Две щели совмещены

выражение, совпадающее с выражением, полученным в примере 2 для теоремы масштабов.

12.Дифракция и интерференция света. Определение Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина – система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.

- дифракция света – обусловленное волновой природой света явление отклонения от законов распространения света геометрической оптики, возникающее при прохождении света в среде с резкими оптическими неоднородностями. Дифракция – [лат. diffractus разломанный];

- интерференция света – явление, возникающее при сложении световых волн и состоящее в том, что интенсивность результирующей световой волны, в зависимости от разности фаз, складывающихся волн, может быть больше или меньше суммы их интенсивностей. Интерференция – [англ. помеха, вмешательство; (взаимное) влияние].

Дифракция волн наблюдается независимо от их природы и может проявляться:

- в преобразовании пространственной структуры волн. В одних случаях такое преобразование можно рассматривать как «огибание» волнами препятствий, в других случаях – как расширение угла распространения волновых пучков или их отклонение в определенном направлении;

- в разложении волн по их частотному спектру;

- в преобразовании поляризации волн;

- в изменении фазовой структуры волн.

Дифракционные эффекты зависят от соотношения между длиной волны и характерным размером неоднородностей среды либо неоднородностей структуры самой волны. Наиболее сильно они проявляются при размерах неоднородностей сравнимых с длиной волны. При размерах неоднородностей существенно превышающих длину волны (на 3–4 порядка и более), явлением дифракции, как правило, можно пренебречь. В последнем случае распространение волн с высокой степенью точности описывается законами геометрической оптики. С другой стороны, если размер неоднородностей среды много меньше длины волны, то в таком случае вместо дифракции часто говорят о явлении рассеяния волн.

13.Дифракция и интерференция света - дифракция света – обусловленное волновой природой света явление отклонения от законов распространения света геометрической оптики, возникающее при прохождении света в среде с резкими оптическими неоднородностями. Дифракция – - интерференция света – явление, возникающее при сложении световых волн и состоящее в том, что интенсивность результирующей световой волны, в зависимости от разности фаз, складывающихся волн, может быть больше или меньше суммы их интенсивностей. Интерференция – [англ. помеха, вмешательство; (взаимное) влияние].

Дифракция волн наблюдается независимо от их природы и может проявляться:

- в преобразовании пространственной структуры волн. В одних случаях такое преобразование можно рассматривать как «огибание» волнами препятствий, в других случаях – как расширение угла распространения волновых пучков или их отклонение в определенном направлении;

- в разложении волн по их частотному спектру;

- в преобразовании поляризации волн;

- в изменении фазовой структуры волн.

Дифракционные эффекты зависят от соотношения между длиной волны и характерным размером неоднородностей среды либо неоднородностей структуры самой волны. Наиболее сильно они проявляются при размерах неоднородностей сравнимых с длиной волны. При размерах неоднородностей существенно превышающих длину волны (на 3–4 порядка и более), явлением дифракции, как правило, можно пренебречь. В последнем случае распространение волн с высокой степенью точности описывается законами геометрической оптики. С другой стороны, если размер неоднородностей среды много меньше длины волны, то в таком случае вместо дифракции часто говорят о явлении рассеяния волн. По своему происхождению дифракции и интерференция два различных понятия, что отразилось и в смысле слов, которыми их обозначили. Дифракция это дробление, разделение, разламывание, а интерференция это взаимное влияние, смешивание. Таким образом, если дифракция по своей функции это разделение, то интерференция это соединение, то есть эти два явления по своему проявлению суть противоположности