Уравнение однородной линии

Качество передачи по линейным цепям и их электрические свойства полностью определяются параметрами этих цепей - параметрами передачи, которые делятся на две группы - первичные и вторичные. По физической природе параметры цепей, образованных НС аналогичны параметрам колебательных контуров, составленных из элементов . В контурах эти параметры являются сосредоточенными, а в цепях связи они равномерно распределены по всей длине линии. Эти параметры являются погонными, т. е. определяются на длину линии в 1 км. Сопротивление R и индуктивность L являются продольными параметрами, они включены последовательно. Ёмкость C и проводимость изоляции G – поперечные параметры, они включены параллельно. Следует отметить, что индуктивность цепи определяется двумя составляющими – внешней и внутренней, т.е. . Внешняя индуктивность определяется только геометрией направляющей системы и не зависит от частоты, а внутренняя – поверхностным эффектом и с ростом частоты уменьшается.

Вторичные параметры передачи: затухание цепи , постоянная распространения , волновое сопротивление , постоянная фазы , скорость распространения энергии . Эти параметры полностью определяются первичными параметрами.

На рис. 3.1 приведена эквивалентная схема двухпроводной однородной линии с первичными параметрами . В начале цепи включён генератор с выходным сопротивлением , а в конце линии нагрузка . Обозначим ток и напряжение в начале линии , в конце - .

Рис. 4.6 – Схема двухпроводной цепи

Выделим на расстоянии х от начала линии бесконечно малый участок dx, через элемент dx протекает ток I, напряжение между проводниками на участке dx и обозначим U.

Падение напряжения на участке dx равно

. (4.7)

Утечка тока на этом участке

. (4.8)

Для решения этих уравнений исключим неизвестную величину I, продифференцировав (4.7) и, используя (4.8):

;

, (4.9)

обозначив , получим уравнение:

. (4.10)

Решение этого уравнения имеет вид: . (4.11)

Дифференцируя (4.11) получим выражение для тока:

. (4.12)

Подставим (4.12) в (4.7), получим выражение:

. (4.13)

Введём обозначение получим систему уравнений с двумя неизвестными:

. (4.14)

Для определения постоянных А и B воспользуемся значениями тока и напряжения в начале цепи (при x =0), тогда система (4.14) примет вид:

.

Определим постоянные интегрирования

.

Подставляя A и B в (4.14) получим

;

.

Произведя соответствующие преобразования получим значения напряжения и тока в любой точке цепи x:

(4.15)

Выражения (4.15) позволяют определить напряжение и ток в начале цепи (x =0) и в конце цепи (x =l), они устанавливают взаимную связь токов и напряжений с параметрами и . Эти уравнения справедливы при любых нагрузках и на концах цепи.

Линия называется однородной, если её первичные параметры не изменяются вдоль длины, и согласованной, если на концах она нагружена на сопротивление, равное волновому. При согласованных нагрузках и уравненя (4.15) имеют вид:

; ; (4.16)

на практике, учитывая, что мощность (4.16) удобно использовать в виде:

; .

Распространение энергии по линии, ток и напряжение в любой точке цепи определяются её волновым сопротивлением и постоянной распространения.

Волновое сопротивление – это сопротивление, которое встречает электромагнитная волна при распространении вдоль однородной линии без отражения, согласованной на концах (). Волновое сопротивление зависит от первичных параметров цепи и частоты.

Волновое сопротивление характеризует количественное соотношение между волной напряжения U (напряженностью электрического тока E) и волной тока (напряжённостью магнитного поля H), т.е. или . При определении волнового сопротивления рассматривается только падающая волна, т. е. отражённая волна отсутствует. Появление в линии каких-либо неоднородностей приводит к изменению структуры поля в этом сечении, изменению векторов и , а, следовательно, к изменению в этом сечении, появлению отражённых волн.

Волновое сопротивление цепи в общем случае рассчитывается по формуле

. (4.17)

В однородной линии величина постоянна в любой точке цепи, и в диапазоне используемых в конкретной НС частот практически не зависит от частоты.

В общем случае является комплексной величиной и носит емкостной характер.

Коэффициент распространения является комплексной величиной и представляется в виде:

. (4.18)

Теперь 4.16 имеют вид:

. (4.19)

Модуль (4.19) определяет уменьшение абсолютного значения тока или напряжения вдоль линии. Угол характеризует изменение фазы тока или напряжения вдоль линии.

Коэффициент затухания. Электромагнитная волна, распространяясь вдоль линии уменьшается по амплитуде от генератора к нагрузке, что объясняется потерями энергии в цепи. Как следует из (4.16) мощность, амплитуда тока и напряжения уменьшаются вдоль линии по экспоненциальному закону (рис. 4.7).

Рис. 4.6 - Характер изменения мощности тока и напряжения вдоль линии

Различают два вида потерь - в проводнике и в диэлектрике. В проводнике возникают тепловые потери, в диэлектрике энергия расходуется на его поляризацию диэлектрика. Оба вида потерь возрастают с ростом частоты.

Потери в линии характеризуются коэффициентом затухания , выражение для которого можно получить из (4.18):

. (4.20)

Действительная часть коэффициента распространения показывает уменьшение электромагнитной энергии в конце линии по сравнению с её началом

; . (4.21)

Логарифмируя обе части выражений (3.15) получаем:

; .

Затухание цепи обычно представляется в децибелах (дБ) (при использовании десятичных логарифмов) или в неперах (при использовании натуральных логарифмов).

; (дБ);

; (Нп).

Между децибелами и неперами выполняется соотношение

1 Нп=8.686 дБ; 1 дБ=0.115 Нп.

Затухание является погонным параметром, измеряется на длину линии

1 км (дБ/км), с ростом частоты затухание возрастает.

Коэффициент фазы характеризует изменение фазы волны или напряжения при распространении электромагнитной волны вдоль линии, является погонным параметром, измеряется в радианах (рад/км) или градусах (град/км), определяется из (4.18):

. (4.22)

Скорость распространения энергии по цепям связи. Электромагнитная энергия распространяется по цепям связи с определенной скоростью и зависит от первичных параметров линии, определяется выражением .

Таким образом, затухание цепи определяет качество и дальность связи, а коэффициент фазы – скорость движения энергии вдоль линии.

Кроме скорости распространения энергии при анализе используются понятия фазовой и групповой скоростей. Фазовая скорость определяет скорость движения поверхности равных фаз в НС (или скорость движения волнового фронта); групповая скорость при передаче сигналов определяет скорость распространения максимума огибающей группы составляющих сложного сигнала, т.е. она характеризует скорость распространения группы волн.

Скорость распространения энергии с ростом частоты увеличивается, в области высоких частот она практически не зависит от частоты, , где С – скорость света в свободном пространстве, эта скорость всегда меньше скорости света. Для ТЕМ - волн фазовая скорость не зависит от частоты, определяется

. (4.23)

Для волн Е(ТМ) и Н(ТМ) фазовая скорость зависит от частоты и определяется

,

где - критическая частота, при которой прекращается распространение энергии по НС.

Зависимость фазовой скорости от частоты указывает на наличие дисперсии в НС. Это обозначает, что различные типы волн в НС распространяются с различными скоростями. В двухпроводных линиях дисперсия отсутствует, дисперсия проявляется в волноводах и световодах.

Вопросы для самоконтроля

1. Объясните сущность поверхностного эффекта.

2. Объясните, какие физические процессы происходят в диэлектриках.

3. Объясните сущность эффекта близости и эффекта действия окружающих масс.

4. Что такое глубина проникновения?

5. В каких проводных НС можно пренебречь эффектом близости?

6. В каких НС нет эффекта действия окружающих масс?

7. Назовите первичные параметры передачи, объясните их смысл.

8. Назовите вторичные параметры передачи.

9. Поясните эквивалентную схему двухпроводной цепи.

10. Поясните смысл выражения 4.12.

11. Поясните смысл уравнений 4.16.

12. Дайте определение волнового сопротивления, объясните его смысл.

13. Какая линия называется однородной и согласованной?

14. Дайте определение коэффициента распространения. Поясните смысл действительной и мнимой его частей.

15. Объясните необходимость перехода к логарифмическим единицам при определении затухания.

16. Какие скорости существуют в НС, объясните их смысл.