Однородные дифференциальные уравнения

1. Дифференциальными уравнениями называют уравнения, которые содержат неизвестную функцию, её производные и аргументы.

Обыкновенным называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Если неизвестная функция является функцией многих переменных, то соответствующее уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, которая входит в это уравнение.

Пример 7.1.

1) - обыкновенное дифференциальное уравнениеІ порядка.

2) - обыкновенное дифференциальное уравнениеІІІ порядка.

3) + =0 - дифференциальное уравнениев частных производных ІІ порядка (уравнение Лапласа).

Далее будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Наиболее общий вид дифференциального уравнения І порядка такой:

F (x, у, у ’)=0. (7.1)

Решением этого уравнения на некотором промежутке называется дифференцированная на этом промежутке функция , которая при подстановке её в уравнение превращает его в тождество.

Пример 7.2. Решить уравнение .

Решение.

= у, = , ln = x+ ln , у=Се^х.

Получили множество решений.

у

С =2

С =1

1 С =0

0

-1 С = -1

-2

С =-2

Функция , где С – произвольная постоянная, называется общим решением уравнения (7.1) в области D, если:

1) функция является решениемуравнения (7.1) для всех значений переменной С из некоторого множества;

2) для произвольной точки () существует единственное значение С=С ₀, при котором функция удовлетворяет начальному условию

Решение , полученное из общего решения при С=С ₀, называется частным решением уравнения (7.1).

С геометрической точки зрения решение определяет некоторое бесконечное множество кривых, которые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частное решение определяет только одну интегральную кривую, которая проходит через точку с координатами ().

Если общее решение уравнения (7.1) найдено в неявном виде Ф(х, у, С)=0, то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения; равенство Ф(х, у, С ₀)=0 называют частным интегралом дифференциального уравнения.

Значит, для уравнения (7.1) можно поставить две задачи:

1) найти общее решение уравнения (7.1);

2) найти частное решение уравнения (7.1), которое удовлетворяет начальному условию .

Вторая задача называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравненияІ порядка.

Пример 7.3. Решить задачу Коши

, у (0)=2.

Решение. Сначала ищем общее решение дифференциального уравнения: у=Се^х.

Из начального условия имеем: 2= Се ⁰ .

Решением задачи Коши является такая функция: у= 2 е^х.

Если уравнение (7.1) можно решить относительно у’, то его записывают в виде

и называют уравнением первого порядка, решенным относительно производной, или уравнением в нормальной форме.

Теорема 7.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция непрерывна в некоторой области D, которая содержит точку М (), то задача Коши

,

имеет решение. Если, кроме этого, в точке М непрерывна частная производная , то это решение единственное.

Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений. Если этот процесс сводится к алгебраическим операциям и вычислению конечного числа интегралов и производных, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Однако класс таких уравнений очень ограничен. Поэтому для решения дифференциальных уравнений широко применяют разные приближённые методы интегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительной техники.

Рассмотрим некоторые типы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

2. Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.

Чтобы найти его общее решение, достаточно проинтегрировать обе его части.

.

Дифференциальное уравнение вида

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные

а затем проинтегрировать

Пример 7.4. Найти общее решение уравнения

Решение. Сначала отделим переменные

,

а затем проинтегрируем

, , у=С ln x.

3. Функция называется однородной функцией п -го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа выполняется тождество

Пример 7.5.

1) = ,

- однородная функция третьего измерения.

2) = - однородная функция нулевого измерения.

Уравнение y’= называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если

(7.2)

Очевидно, уравнение вида

будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р (х, у) и Q (х, у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение

однородное. Считая, в соотношении (7.2) , получим

Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

(7.3)

Применим в уравнении (7.3) подстановку

, ,

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

,

которое всегда интегрируется в квадратурах:

,

.

После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить

Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой , .

Пример 7.6. Найти общее решение уравнения

Решение. Применим подстановку , . Тогда получим

,

, ,

, , .

Пример 7.7. Решить задачу Коши

, у (1)=2.

Решение. Поскольку обе функции

однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде

и применим подстановку , . Тогда получим

,

, , .

Из начального условия найдём постоянную интегрирования:

Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:

Лекция 16. Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

План.