Явление жесткости

Ограниченная устойчивость численного метода является серьезным недостатком при решении так называемых жестких систем.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

,

для которого уравнение имеет единственное решение

Рис. 10.3. К определению жесткости дифференциального уравнения

Рассмотрим примеры жестких систем.

1. Простейшее дифференциальное уравнение

(10.1)

может быть жестким (рис. 10.4), если интервал наблюдения зна-

Рис. 10.4. Семейство решений уравнения (10.1)

чительно превосходит величину . Решением такого уравнения является функция . Пунктирные линии на рис. 10.4 соответствуют различным значениям .

2. Для иллюстрации явления жесткости дифференциальных уравнений может быть полезной также любая система линейных ОДУ, матрица которой характеризуется большим разбросом собственных значений, например система

(10.2)

Здесь собственные числа матрицы есть .

Решение этой системы (рис. 10.5)

содержит быструю составляющую как для , так и для , хотя по амплитуде быстрая составляющая функции значительно превосходит аналогичную компоненту функции (ее на рис. 10.5 в таком масштабе отобразить не удалось).

Рис. 10.5. Решение жесткой системы ОДУ (10.2)

Завершая краткую характеристику свойства жесткости дифференциальных уравнений, отметим, что при решении научных задач жесткость уравнений является скорее правилом, чем исключением. По этой причине для таких задач разработаны специальные методы численного интегрирования.

Лекция 11

Date: 2015-07-27; view: 444; Нарушение авторских прав