Формула Пуассона

Імовірність того, що за проміжок часу t + не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

(52)

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:

(53)

оскільки .

Перенісши і в рівняннях (52), (53) у ліву частину, дістанемо таку систему рівнянь:

(54)

Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь (54) на і виконаємо граничний перехід при . У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:

;

. (55)

Для розв’язування системи (55) використаємо твірну функцію

. (56)

Розглянемо властивості функції А (х, t). При х = 1 А (1, t) = 1.

При х = 0 А (0, t) = p ₀(t), А (х, 0) = р ₀ (0) = 1,

. (57)

Помножимо друге рівняння системи (55) на х^m і підсумуємо ліву та праву частини рівняння:

.

або з урахуванням (56)

. (58)

Розв’язавши диференціальне рівняння, дістанемо:

, (59)

оскільки А (х, 0) = р ₀(0) = 1.

Згідно з властивістю А (x, t) маємо:

;

.

Отже, імовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік, обчислюється за формулою

, (60)

де — це інтенсивність найпростішого потоку, тобто: середнє число подій, які відбудуться за одиницю часу [с, хв, год].

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.

Розв’язання. Із умови задачі: .

За таблицею (дод. 3), коли знаходять:

1) ;

2)

=

1. Дати означення потоку подій.

2. Що називається найпростішим потоком подій?

3. Дати означення стаціонарності потоку.

4. Дати означення відсутності післядії для найпростішого потоку.

5. Дати означення інтенсивності потоку.

6. Формула Пуассона для найпростішого потоку.

7. Що називається твірною функцією?

8. Властивості твірної функції.

9. Чому дорівнює ?

10. Чому дорівнює ?

11. Чому дорівнює ?

12. Чому дорівнює ?

13. Записати систему диференціальних рівнянь для найпростішого потоку.

14. Записати диференціальне рівняння з твірними функ-
ціями.

15. Чому дорівнює ?