Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки на плоскости. Расстояние между точками

Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Когда говорят про двухмерную систему коодинат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осьюординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки.

Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.

Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.

Рис. 3а: Левые координатные системы	Рис. 3б: Правые координатные системы

Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox - на наблюдателя; на оси Oy - вправо; на оси Oz - вверх. Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.

Запись P(a,b,c) означает, что точка Q имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.

3. Возведение матриц в степень. Полином(многочлен) от матрицы. Примеры.

8. Обратная матрица и способы её нахождения. Примеры.

12. Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений(метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 1

Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение .

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Ответ: