Теоретическая часть

Частотный критерий Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой САУ по амплитудно-фазовой частотной характеристике W_P(jw) ее разомкнутой цепи, если удовлетво­ряется условие

lim|W_P(jw) | =С. (*)

w®¥

При этом под термином "замкнутая САУ" понимается САУ, приведенная к одному динамическому звену с передаточной функцией W_P(s) в прямой цепи, охваченному единичной отрицательной обратной связью (рис.6).

Для удовлетворения условия (*) степень m числителя передаточной функции W_P(jw) разомкнутой системы не должна быть выше степени n ее знаменателя, что выполняется для любых реальных систем.

На первом этапе необходимо определить устойчивость иссле­дуемой системы в разомкнутом состоянии. В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы.

X (s) W_P(s) Y (s)

Рис. 6.

Различают три случая применения критерия Найквиста.

1. Разомкнутая система устойчивая. В этом случае для устой­чивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до ¥ не охватывала точку с координатами [-1; j0].

Рис. 7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых

разомкнутых систем

На рис.7 изображены возможные ситуации. При АФЧХ, показанной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива, т. е. она остаётся устойчива и при уменьшении передаточного коэффициента разомкнутой цепи. Если АФЧХ является кривая 2, то замкнутая система условно устойчива. Она остается устойчи­вой только при значении k, лежащем в некоторых пределах. Кри­вая 3 проходит через критическую точку с координатами [-1; j0]. Это означает, что замкнутая система находится на колебатель­ной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчивая.

Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней k ее характеристического полинома имеет положительные веществен­ные части.

2. Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой разомкнутой САУ имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части. В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ при изменении w от 0 до ¥, дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса (по часовой стрелке), не охватывала точку с координатами [-1; j0].

3. Разомкнутая система не устойчивая. Характеристический полином такой САУ имеет k корней с положительной вещественной частью. В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста форму­лируют так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до ¥ вектор, начало ко­торого находится в точке с координатами [-1; j0], а конец на АФЧХ разомкнутой си­стемы, повернулся в положительном направлении (против часо­вой стрелки) на угол k• 180°.

При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее при­менять другую формулировку критерия Найквиста, которая ис­пользует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении w через отрезок вещественной оси от -1 до ¥ сверху вниз считают положительным и снизу вверх отрицательным (рис.8). АФЧХ может начинаться на указанном отрезке при w = 0 или заканчи­ваться при w = ¥. Тогда считается, что она совершает полпере­хода.

Рис.8. Обозначение знака пе­рехода АФЧХ через отрезок веще­ственной оси от - 1 до - ¥

Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разом­кнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до - ¥ равен k/2. Здесь k — число корней характеристического полинома разомкнутой системы с положительной частью.

При наличии у характеристического полинома нулевых и чисто мнимых корней АФЧХ на участках разрыва должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса.

Для применения критерия Найквиста исследуемая система может быть разомкнута в любой точке, т.е. может быть разомкнута не главная обратная связь,

а одна из местных обратных связей.

При использовании критерия устойчивости Найквиста по АФЧХ о запасе устойчивости САУ можно судить по степени удалённости годографа W_P(jw) от точки с координатами [-1; j0].

Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Основное удобство применения критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что он легко переносится на логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, которые, в свою очередь, могут быть легко построены, особенно в том случае, если разомкнутая САУ представляется в виде совокупности последовательно соединенных типовых динамических звеньев.

Применительно к ЛАФЧХ критерий может быть сформирован так: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАХ (L(w)>0) разность между числом положительных и отрицательных переходов ФЧХ через линии -180⁰; 3´180⁰… равнялась k/2, где k - число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой САУ. Пересечение ФЧХ линий -180; 3´180… снизу вверх считается положительным переходом, а сверху вниз - отрицательным.

Из анализа графиков рис.9 видно, что разность между положительными и отрицательными переходами ЛФХ через -180⁰ при L(w)>0 равна +1. Таким образом, если знаменатель передаточной функции W_P(s) имел 2 “плохих” корня (k=2), то замкнутая система будет устойчива.

Рис. 9. Логарифмические частотные характеристики неустойчивой

(k= 2) ра­зомкнутой системы

Типичные логарифмические характеристики разомкнутой САУ приведены на рис.10.