Теоретическая часть. Критерий Михайлова: для устойчивости системы порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и

Критерий Михайлова: для устойчивости системы порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и охватывал в положительном направлении (против часовой стрелки) квадрантов ( степень характеристического уравнения), все время охватывая начало координат и нигде не обращаясь в нуль.

Для критерия Михайлова необходим характеристический полином, получаемый из знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

.

Если заменить в этом полиноме оператор Лапласа на мнимое значение , то получим комплексный полином

;

.

Годограф Михайлова есть кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до . Для систем порядка примерный вид годографа Михайлова приводится на рис.4.

Иногда удобнее пользоваться другой формулировкой критерия Михайлова: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой (полином V(w)) и действительной (полином U(w)) частей её характеристического вектора были вещественными положительными и чередовались, т.е. выполнялись неравенства

где , - корни полинома U(w); , - корни полинома V(w).

У неустойчивых систем годографы Михайлова имеют разнообразную форму.

На рис.5 показаны годографы неустойчивых систем четвёртого порядка. Их характеристический полином имеет положительный вещественный корень (кривая 1), два положительных вещественных корня (кривая 2), два комплексно- сопряженных корня с положительной вещественной частью (кривая 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный (кривая 4).

Рис.4. Годографы Михайлова устойчивых систем при различном порядке характеристического вектора

Рис. 5. Годографы Михайлова неус­тойчивых систем четвертого порядка

При использовании критерия Михайлова о запасе устойчивости САУ можно судить по степени удалённости годографа от начала координат.

Данные к лабораторной работе взять из л.р. №2.