Реальные газы. · Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

· Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

,

для произвольного количества вещества

,

где a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса; V – объем, занимаемый газом; V _m – молярный объем; р – давление газа на стенки сосуда; ν – количество вещества.

· Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными Ван-дер-Ваальса

, , .

· Внутренняя энергия реального газа

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. В закрытом гараже объемом V₁ = 80 м³ хранился открытый сосуд с ацетоном объемом V₂ = 0.5 л, который полностью испарился. Плотность ацетона ρ = 0.8·10³ кг/м³. Вентиляция в гараже отсутствует. Определить количество ацетона в 1 м³ воздуха.

Решение: Количество паров ацетона в 1 м³ воздуха равно

,

где - масса испарившегося ацетона.

Тогда

.

Подставив числовые данные, получим

кг/м³.

Пример 2. Сколько молекул воздуха находится в комнате объемом 240 м³ при температуре 15 ⁰С и давлении 750 мм.рт.ст.?

Решение: Чтобы использовать объединенный закон газового состояния, сравним между собой состояния данной массы воздуха при заданных (p ₁, V ₁, T ₁) и нормальных (p ₀, V ₀, T ₀) условиях:

.

Поскольку объем воздуха при нормальных условиях (ρ₀ – плотность воздуха при нормальных условиях), то предыдущее уравнение примет вид:

,

откуда .

Найдем, сколько молей содержится в данной массе воздуха:

.

Поскольку в одном моле любого газа, в том числе и воздуха, содержится число молекул, равное постоянной Авогадро, то:

молекул.

Пример 3. Из баллона со сжатым водородом вместимостью V = 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре t ₁ = 7 ⁰С барометр показывает p = 51 атм. Показание барометра не изменилось и при температуре t ₂ = 17 ⁰С. Определите, сколько газа утекло.

Решение: Используя уравнение Клапейрона-Менделеева

,

найдем первоначальную массу водорода

.

Аналогично найдем массу водорода m ₂ после утечки:

.

Следовательно, масса утекшего газа:

кг.

Пример 4. Давление атомарного водорода в космическом пространстве примерно р = 1,7·10^-15 Па при температуре Т = 125 К, эффективный диаметр его молекул d _эф = 0,22 нм. Найти, какое время t в среднем движется молекула водорода между последовательными столкновениями.

Решение: Время между последовательными столкновениями можно найти, разделив среднюю длину свободного пробега молекулы на ее среднюю арифметическую скорость:

.

Концентрация молекул n связана с давлением р формулой , откуда и выразим концентрацию молекул: .

Тогда время между последовательными столкновениями молекул водорода найдем как: .

Произведем вычисления

лет.

Пример 5. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V ₁ = 1 м³ и находится под давлением р ₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V ₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р ₃ = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии Δ U газа, совершаемую им работу А и теплоту Q, переданную газу.

Решение: Изменение внутренней энергии газа:

,

где i = 5 – число степеней свободы молекул кислорода; Δ Т = Т ₃ – Т ₁ – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева

,

откуда .

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой:

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом, равна:

.

Согласно первому началу термодинамики, теплота, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы:

Произведем все вычисления, учтя, что для кислорода М = 32·10^-3 кг/моль.

К; К; К;

Дж = 0.4 МДж;

МДж;

Дж = 3,24МДж;

МДж.

Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление р = 79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h ₁ полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с 5 ⁰С до 1 ⁰С. Какую ошибку Δ h в определении высоты допустил летчик? Давление р ₀ у поверхности Земли считать нормальным.

Решение: Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

Барометр может показывать неизменное давление при различных температурах Т ₁ и Т ₂ за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h ₂.

Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:

, .

Найдем отношение р ₀/ р и обе части полученного равенства прологарифмируем:

, .

Из полученных соотношений выразим высоты h ₁ и h ₂ и найдем их разность:

Подставим значения и произведем вычисления:

м.

Знак «–» означает, что h ₂ < h ₁ и, следовательно, самолет снизился на 28,5 м по сравнению с предполагаемой высотой.

Пример 8. Паровая машина мощностью N = 14,7 кВт потребляет за время t = 1 ч работы m = 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания q = 3,3·10⁷ Дж/кг. Температура котла t ₁ = 200 ⁰С, температура холодильника t ₂ = 58 ⁰С. Найти фактический η _ф КПД этой машины. Определить во сколько раз КПД идеальной η _ид тепловой машины, работающей по циклу Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника, превосходит КПД этой паровой машины η _ф.

Решение: КПД реальной паровой машины (фактический КПД) определяется отношением работы, совершенной этой машиной за некоторое время, к количеству теплоты Q ₁, которое отдано нагревателем за это время:

.

Работу, совершаемую паровой машиной, можно определить произведением мощности на время ее работы: .

Паровая машина отдает количество теплоты Q ₁, которое выделит сгоревший уголь массой m. Это количество теплоты равно:

.

Тогда фактический КПД паровой машины определим как:

. (1)

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется формулой:

. (2)

Разделив (2) на (1) мы ответим на второй вопрос задачи:

.

Пример 9. Какую температуру Т имеет масса m = 2г азота, занимающего объем V = 820 см³ при давлении р = 0,2 МПа? Для азота Т _к = 126 K, р _к = 3,4 МПа.

Решение: Реальные газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса: . Известно, что , откуда выразим a:

, подставим сюда значение для а: , откуда выразим b: и вычислим а:

Из уравнения Ван-дер-Ваальса температура: