Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно

· Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

1) в векторной форме

или ,

где – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; m – масса точки, кг; – ускорение, м/с²; – импульс, кг∙м/с; N – число сил, действующих на точку;

2) в координатной форме

; ;

или

; ; ,

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие ось координат.

В Международной системе единиц за единицу силы принимается сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с². Эта единица называется ньютоном, 1Н = кг∙м/с².

· Сила упругости:

F _упр = – kx,

где k – коэффициент упругости; х – абсолютная деформация.

· Сила гравитационного взаимодействия:

,

где G – гравитационная постоянная, Н·м²/кг²; m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними.

· Сила трения скольжения:

F _тр = μN,

где μ – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

· Координаты центра масс системы материальных точек

; ; ,

где m _i – масса i –й материальной точки; x _i, y _i, z _i – ее координаты.

· Закон сохранения импульса замкнутой системы:

, или ,

где N – число материальных точке входящих в систему; единица измерения импульса (кг·м/с).

· Работа, совершаемая постоянной силой:

, или ,

где α – угол между направлениями векторов силы и перемещения; единица измерения работы джоуль (Дж).

· Средняя мощность за интервал времени:

;

единица измерения мощности ватт (Вт).

· Мгновенная мощность:

, или ,

где dA – работа, совершаемая за промежуток времени.

· Кинетическая энергия материальной точки (тела), движущейся поступательно:

, или ;

единица измерения энергии джоуль (Дж).

· Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля:

, или

· Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины):

.

· Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точке (тел) массами m ₁ и m ₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

.

· Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h << R, где R – радиус Земли.

· Закон сохранения энергии для замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы:

Е _п + Е _к = const.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. При разборке завала после пожара взрыва дома возникла необходимость сдвинуть часть бетонной плиты. Определить силу натяжения горизонтального троса, если на его середину действует сила Р = 2000 Н. Угол прогиба троса 4⁰, массу троса не учитывать. Во сколько раз сила натяжения троса будет больше веса человека массой 100 кг?

Решение: Разложим силы натяжения троса и действующую силу на проекции по осям координат. Проекции сил натяжения троса на ось Ох равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому равнодействующая сила будет иметь проекцию только на ось Оу.

Проекции сил натяжения на ось Оу равны.

.

Отсюда

Н

Вес неподвижного тела массой m равен N = mg.

Отношение силы натяжения троса к весу человека равно:

,

Н.

Пример 2. Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30⁰ под действием силы тяги 7 кН. Найти ускорение автомобиля, считая, что сила сопротивления не зависит от скорости и составляет 0,1 от силы нормальной реакции опоры.

Рис. 4. Силы, действующие на автомобиль

Решение: На автомобиль действуют (рис. 4): сила тяжести , сила трения , сила тяги и сила нормальной реакции шоссе . Выберем направление вектора вверх вдоль наклонной плоскости. Запишем для автомобиля второй закон Ньютона:

.

Найдя проекции сил и ускорения на выбранные оси X и Y, получим:

(1)

(2)

Из уравнения (2) находим, что N = mg cos α. Учитывая, что F _тр = μN = μmg cos α, запишем уравнение (1) в виде – mg sin α + F – μmg cos α = ma, откуда

м/с².

Пример 3. Определить работу подъема груза по наклонной плоскости, среднюю мощность и КПД подъемного устройства, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 30⁰, коэффициент трения 0,1, ускорение при подъеме 1 м/с². У основания наклонной плоскости груз находился в покое.

Решение: Изменение полной механической энергии обусловлено действием на груз силы тяги (рис. 5) и силы трения:

А + А _тр = ∆ Е = Е – Е ₀. (1)

Здесь А – работа силы тяги; А _тр – работа сил трения; Е₀ = 0 по условию задачи. Конечное значение полной механической энергии:

,

где .

Рис. 5. Силы, действующие на груз

Сила трения на наклонной плоскости F _тр = μN = μmg cos α,

поэтому А_тр = – μmgl cos α.

Подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем:

кДж.

Средняя мощность подъемного устройства ,

где t – время подъема груза, которое может быть получено из уравнения равноускоренного движения

, (υ ₀ = 0). (2)

Из уравнения (2) найдем , тогда мощность будет равна Вт.

Date: 2015-08-15; view: 592; Нарушение авторских прав