А) Задачи, связанные с пропорциональными величинами

Среди таких задач различают три вида задач:

- на нахождение четвертого пропорционального (на простое тройное пра­вило);

- на пропорциональное деление;

- на нахождение неизвестных по двум разностям.

Все три вида задач содержат по три величины, одна из которых постоянная, а две другие – переменные. Для любого набора трех величин можно составить по 6 разновидностей каждого вида задач.

Названные виды задач различаются своими данными и искомыми.

Задачи на нахождение четвертого пропорционального. В этих задачах даны два значения одной переменной величины и одно значение другой переменной величины, второе значение является искомым (см таблицу 1).

Первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Таблица 1

Задачи на пропорциональное деление. Эти задачи включают две пе­ременные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше посто­янных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Можно выделить 6 ви­дов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2.

Таблица 2

В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является сформированное умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление лучше предлагать их не в готовом виде, а составить вместе с детьми из задач на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения.

Учащимся предлагается составить задачу по ее краткой записи:

После решения задачи, составленной по данному условию, учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (6 р.). Затем он предлагает найти сумму чисел, которые показывают стоимость тетрадей (20 р..), и составить задачу по новому условию:

Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: "Сколько заплатил первый ученик?" и "Сколько заплатил второй ученик?" Учитель поясняет, что эти два вопроса можно заменить одним: "Сколько денег заплатил каждый ученик?" В окончательном виде задача формулируется примерно так: "Два ученика купили тетради по одинаковой цене. Первый купил 7 тетрадей, а второй - 3. Всего они заплатили 20 рублей. Сколько денег заплатил каждый ученик?"

При обучении решению задач этого вида целесообразно при разборе содержания задачи краткую запись составлять в виде таблицы. Кроме этого хорошо использовать и схемы, помогающие детям осмыслить содержание задачи и найти путь решения.

________?______ __?___

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

_______ 7т.______ __ 3т.__

________________________

20 р.

Рис.

Запись решения задачи осуществляется в виде отдельных действий с пояснениями, так как задача содержит два вопроса.

1) 7+3=10 (т.) – стоят 20 рублей.

2) 20:10=2 (р.) – цена 1 тетради.

3) 2×7=14 (р.) – стоят 7 тетрадей.

4) 2×3=6 (р.) – стоят 3 тетради.

Далее включается решение готовых задач. В этом случае надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; затем выяснить, какое из искомых чисел должно быть больше и почему; далее перейти к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным. Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.

Возможны и другие подходы к введению задач на пропорциональное деление. Можно, например, начать с решения готовых задач, а позднее выполнить работу по преобразованию задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление, сравнив как сами задачи, так и их решения.

Для обобщения способа решения в дальнейшем включаются задачи на пропорциональное деление I вида с другими группами величин, после чего вводятся задачи II вида, а несколько позднее III и IV видов. При этом наряду с решением готовых задач следует включать упражнения на составление и преобразование задач.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям. Эти задачи включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой

переменной являются искомыми. Можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах рассматриваются только два вида задач (см таблицу 3).

Таблица 3

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II вида. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

В качестве подготовительных упражнении к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы н простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.

Пример.

1) Таня купила 6 одинаковых тетрадей, а Маша 4 таких же тетради. Кто из них больше заплатил денег? Почему? За сколько тетрадей Маша заплатила столько же денег, сколько уплатила Таня?

2) Таня и Маша купили тетради по одинаковой цене. Таня купила на 2 тетради больше, чем Маша, и заплатила на 4 рубля больше, чем Таня. Сколько стоила 1 тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать ученикам, что Таня купила столько же тетрадей, сколько Маша, и еще 2 тетради и заплатила денег столько же, сколько Маша, и еще 4 рубля. Отсюда можно сделать вывод, что 2 тетради стоят 4 рубля, значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала можно предлагать задачи не в готовом виде, а составлять их из задач на нахождение четвертого пропорционального, затем включать готовые задачи, а можно начать с готовых задач.

Пример. Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:

После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе, - 420 рублей. Учитель предлагает найти разность чисел, показывающих стоимость (240 рублей). Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет на доске новую краткую запись:

Дети составляют по кратной записи такую задачу: "В первом куске 3 м ткани, в другом 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей больше первого. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

При решении задач этого вида целесообразно использовать и схему.

3 м

|---------|

?

240 р.

|---------|------------|

7 м

?

Рис.

Выясняется, почему второй кусок стоит больше, чем первый, за сколько метров ткани второго куска заплатили столько же денег, столько за первый, за какую ткань заплатили 240 рублей.

Решение задач этого вида записываются только по действиям. Причем следует учить детей давать пояснения к действиям (особенно к первому так, чтобы легко просматривался следующий шаг в решении задачи).

1) 7-3=4 (м) – стоят 240 рублей.

2) 240:4=60 (р.) – цена 1 метра ткани.

3) 60×7=420 (р.) – стоят 7 метра ткани.

4) 60×3=180 (р.) – стоят 3 метра ткани.

Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли второй кусок ткани стоит на 240 рублей больше, чем первый: 420-180=240; значит, можно считать, что задача решена правильно.

Для закрепления умения решать задачи предлагаются готовые задачи на нахождение неизвестных по двум разностям 1 вида с различными группами пропорциональных величин. Аналогично вводятся задачи на нахождение неизвестных по двум разностям II вида. Целесообразно предлагать упражнения на преобразование задач. Например, можно по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения; можно составить по задаче на нахождение четвертого пропорционального задачу на пропорциональное деление и задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения. Такие упражнения помогают детям увидеть сходство в способах решения.