Линейные преобразования

Пусть переменные преобразуются в новые с помощью линейного преобразования

где - константы (все индексы пробегают значения 1, 2, 3..., n независимо друг от друга.). Применяя условие о суммировании, можем записать эту систему уравнений в виде

(1.1)

Мы предполагаем, что определитель преобразования не равен нулю. Пусть является алгебраическим дополнением элемента в определителе c деленным на величину ( - обратная матрица). Тогда

(1.2)

и мы можем разрешить систему уравнений (1.1) относительно x

(1.3)

Это показывает, что данное преобразование обратимо.

Кроме того, если мы имеем

т. е. тождественное преобразование.

Если перейти сначала от переменных к по (1.1), а затем от переменных к при помощи преобразования

то мы видим, что переход от первоначальных переменных к определяется формулой

где

Это преобразование, следовательно, также линейное.

Говорят, что совокупность преобразований образует группу, когда она удовлетворяет следующим условиям: 1) если преобразования от к и от к принадлежат данной совокупности, то преобразование от к также принадлежат к ней; 2) совокупность преобразования содержит тождественное и обратное преобразования.

Таким образом, совокупность линейных преобразований образует группу.