Производственные возможности. Парето-оптимальность

Рассмотрим экономическую систему, в которой производится всего два продукта. Если при данном уровне научно-технического развития и при данных доступных объемах ресурсов в системе может быть произведено одновременно x единиц продукта X и у единиц продукта Y, то набор (x, у) называют производственной возможностью экономической системы.

Множество производственных возможностей изображается на плоскости фигурой, криволинейная сторона которой называется кривой производственных возможностей (КПВ), или кривой трансформации. Ее форма определяет взаимозависимость выпусков обоих продуктов, т. е. способ преобразования (трансформации) одного продукта в другой.

Если для некоторой производственной возможности на КПВ увеличение выпуска товара X на Δх требует сокращения выпуска товара У на Δу, то вмененными (альтернативными) издержками продукта X называют

ВИ_х = Δу/Δх.

Если у(х) – уравнение КПВ, то вмененные издержки продукта X равны модулю значения производной этой функции. Аналогично определяют вмененные издержки продукта Y.

Чем больше выпуск товара Х, тем больше "жертва" другого товара Y, необходимая для увеличения выпуска товара Х на единицу. Иными словами, альтернативные издержки товара увеличиваются с увеличением его выпуска.

Эффективность производства есть соотношение выпуска товаров и расхода ресурсов. Стоимостная эффективность выражается отношением стоимости произведенных товаров к стоимости израсходованных ресурсов. Из двух вариантов производства более эффективен тот, у которого данное отношение больше.

Нестоимостным методом оценки эффективности является метод Парето: если у одного варианта производства выпуски всех товаров не меньше, а расходы всех ресурсов не больше, чем у другого, то первый вариант эффективнее. Вариант производства называют оптимальным по Парето, если для него не существует более эффективного варианта. Недостатком описанного метода является то, что не все варианты производства сравнимы между собой, а поэтому оптимальный вариант не является единственным.

Пример 1. Для каждого из трех вариантов производства указаны выпуски двух продуктов и расходы двух ресурсов. Найти оптимальные по Парето варианты производства.

Решение:

Рассмотрим варианты А и В. Товары: 20 > 15, 30 > 25. Ресурсы: 4 > 2, 5 < 6. Варианты не сравнимы, так как 4 > 2.

Рассмотрим варианты А и С. Товары: 20 > 18, 30 ³ 30. Ресурсы: 4 > 1, 5 £ 5. Варианты не сравнимы, так как 4 > 1.

Рассмотрим варианты В и С. Продукты: 15 < 18, 25 < 30. Ресурсы: 2 > 1, 6 > 5. Вариант В не оптимален. Итак, варианты А и С оптимальны по Парето.

Пример 2. В экономической системе производится 200 тыс.т молока и 300 тыс.т пшеницы. Вмененные (альтернативные) издержки производства молока равны 5. Найдите максимально возможный выпуск пшеницы после увеличения выпуска молока на 10%.

Решение:

Выпуск молока увеличится на 0,1 * 200=20 (тыс. т). Согласно определению вмененных издержек, сокращение выпуска пшеницы составит 5* 20 = 100 (тыс. т).

Теперь выпуск пшеницы составит 300 – 100 = 200 (тыс. т).

Пример 3. В системе производятся сахар и мука. Килограмм сахара получается из 10 кг свеклы, а килограмм муки – из 2 кг зерна. Имеется 600 кг свеклы и 40 кг зерна. Найти КПВ. Найти производственную возможность, отвечающую полной занятости ресурсов.

Решение:

1) Запишем данные в таблицу

2) Обозначим через х выпуск сахара, через у – выпуск муки. Тогда каждая производственная возможность (х, у) удовлетворяет системе неравенств 10 х + 0 у ≤ 600 и 0 х + 2 у ≤ 40.

3) Решение этой системы – прямоугольник ОABC, где А(60; 0), В(60;20) и С(0; 20). Ломаная ABC – граница производственных возможностей.

4) Набор В отвечает полной занятости ресурсов, так как он является решением системы уравнений 10 х = 600 и 2 у = 40.

Пример 4. Производственные возможности Ивана: (2;2) и (3; 4). Производственные возможности Марии: (1;2) и (3;2). Создав семью, Иван и Мария продолжают производить продукцию независимо друг от друга. Найти производственные возможности семьи.

Решение:

Необходимо сложить каждую производственную возможность Ивана с каждой производственной возможностью Марии:

(2 +1; 2 + 2), (3 + 1;4+2), (2+ 3; 2 + 2), (3 + 3; 4 + 2).

Пример 5. В системе производятся сухари и кексы. Тысяча сухарей производится из 1 кг сахара и 4 кг муки, сотня кексов – из 2 кг сахара и 2 кг муки. Имеется 40 кг сахара и 100 кг муки. Найти:

а) границу производственных возможностей;

б) производственную возможность, отвечающую полному использованию сахара и муки.

Решение:

Обозначим через х выпуск сухарей (тыс. шт.), а через у – выпуск кексов (сотен шт.). Тогда множество производственных возможностей задается системой неравенств:

Множество производственных возможностей изображено на рисунке. Граница производственных возможностей представляет собой ломаную ABC, где А(25; 0), В(20; 10), С(0; 20).

Набор В (20 тыс. сухарей и 10 сотен кексов) отвечает полному использованию ресурсов, т.к. он является решением системы уравнений:

х + 2 у = 40

4 х+ 2 у =100. х =20, у =10.