Годограф сейсмических волн

Годографом сейсмической волны называется график зависимости времени пробега волны от источника до приемника волны (регистрирующего устройства) от эпицентрального расстояния. Эпицентральное расстояние -- это угол с вершиной в центре шара, которым изображается Земля, а сторонами этого угла являются радиус-векторы источника и приемника.

Из закона Снелиуса следует, что сейсмический луч, направленный внутрь Земли, будет отклоняться от нормали к сферическому пласту, так как с увеличением глубины скорость упругих колебаний, за редким исключением, увеличивается. Поэтому сейсмический луч, который вышел из точки на поверхности Земли, погрузившись на некоторую глубину, снова выйдет на поверхность в точке , где поставим сейсмоприемник (сейсмостанцию). Другой луч из той же точки, почти совпадающий с первым, выйдет на поверхности в точке (рис.3).

Опустим перпендикуляр из точки на второй луч. Точку пересечения этого перпендикуляра с траекторией второго луча обозначим через . Точки , , образуют треугольник. Примем за основание этого треугольника сторону . Угол при вершине обозначим через -- это угол падения первого луча на поверхность раздела, в частности, на поверхность Земли. Тогда увеличение пути второго луча по отношению к первому, будет равно . Пусть время, которое необходимо, чтобы волна достигла точки равно , а точки -- соответственно , где -- приращение эпицентрального расстояния, равное . Следовательно, . Отсюда следует

(2.5)

В полученной формуле индекс "0" означает, что соответствующие величины относятся к приповерхностному слою на выходе сейсмического луча. Однако, можно показать, что величина приведенного отношения не изменяется вдоль всей траектории луча, он является параметром луча . Остается выяснить, каким образом с помощью параметра луча, который можно получить из годографа, определить изменение скорости в зависимости от радиус-вектора .

Обозначим изменение эпицентрального расстояния от текущей точки до точки через , тогда элементарную длину дуги на траектории луча можно определить из выражения , которое следует из элементарного треугольника, изображенного на рис.4. Но , поэтому . Выразим через параметр луча . Теперь . Введем обозначение

Теперь полученное выражение будет выглядеть так

Следовательно, . С помощью элементарных преобразований приходим к выражению . Следовательно, . Чтобы получить эпицентральное расстояние нужно проинтегрировать полученное выражение по от точки, где расстояние текущей точки на траектории луча находится на наименьшем расстоянии от центра сферы до точки на поверхности (точка выхода луча), а результат удвоить. Такая простая схема возникает лишь при гипотезе о сферически симметричной Земле, так как только в этом случае самая глубокая точка траектории делит ее пополам.

Итак,

(2.6)

Мы получили интегральное уравнение относительно функции , с помощью которой легко определяется и скорость сейсмической волны: .

Один из примеров годографа приведен на рис.5.

Рис. 5.

Определение плотности внутри планеты

Как мы видели, скорость распространения объемных упругих волн внутри планеты зависит как от упругих постоянных, так и от плотности пород, слагающих Землю. Одной из важнейших задач сейсмологии является определение плотности пород внутри планеты. Обратимся к формулам (2.1), которые перепишем здесь в следующем виде

Исключая модуль сдвига, получим . Полученную величину называют сейсмическим параметром и обозначают буквой . Выразим модуль сжатия через сейсмический параметр. Из определения модуля всестороннего сжатия следует . Изменение плотности прямо пропорционально изменению объема, поэтому , следовательно . Отсюда еще одно определение сейсмического параметра: .