Основные теоретические сведения. Трендом (тенденцией) называется неслучайная, медленно меняющаяся составляющая временного ряда, на которую накладываются случайные колебания или сезонные

Трендом (тенденцией) называется неслучайная, медленно меняющаяся составляющая временного ряда, на которую накладываются случайные колебания или сезонные эффекты. Тренд описывает основную закономерность развития показателя и определяется влиянием нескольких основных факторов. Например, если спрос на какой-либо товар со временем растет, то это объясняется ростом благосостояния населения, улучшением качества товара, действием рекламы и т. д.

Все вместе эти факторы дают тенденцию роста спроса на товар. Однако существуют и случайные колебания спроса в результате появления конкурента, проблем с организацией торговли и т. п. На поведение экономического показателя могут оказывать влияние также и сезонные эффекты (например, увеличение спроса на детские игрушки ежегодно в декабре).

Трендовые модели прогнозированияосновываются на методе экстраполяции, т. е. методе продления на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Для корректного применения метода экстраполяции требуется соблюдение двух условий:

1) Временной ряд экономического показателя должен действительно иметь тренд, т. е. преобладающую тенденцию.

2) Общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений и в будущем.

Следовательно, чтобы использовать метод экстраполяции в нашем примере, мы должны быть уверены, что действие вышеприведенных факторов в будущем не прекратится.

С математической точки зрения, тренд – это некоторая функция от времени, приближенно описывающая поведение исследуемого показателя. На плоскости функция тренда задает кривую, называемую кривой роста.

Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Приведем примеры кривых роста.

· Полиномиальные:

– линейная;

– полином второй степени;

– полином третьей степени.

· Экспоненциальные:

– простая экспонента;

– модифицированная экспонента (a > 0, 0 < b < 1).

· S-образные:

– кривая Гомперца (a > 0, 0 < b < 1);

– логистическая кривая (a > 0, b > 0),

где a ₁, a ₀, a, b и т. д. – параметры тренда, которые подбираются таким образом, чтобы тренд прошел как можно ближе к фактическим данным.

Метод наименьших квадратов предназначен для определения параметров тренда. Этот метод состоит в том, что параметры тренда подбираются таким образом, чтобы сумма квадратов разностей теоретических и расчетных значений была минимальной, т. е.:

, (2.3)

где y_i – фактическое значение показателя;
– теоретическое (расчетное) значение показателя;
e _i = y_i – – отклонение, определяемое случайными факторами (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Линейная кривая роста

Например, для линейного тренда находят a ₁ и a ₀ из условия

.

Для любого временного ряда обычно подбирают несколько трендовых моделей, (например, линейную и экспоненциальную) и для каждой модели находят параметры уравнения тренда. Затем нужно сравнить модели и определить, которая из них точнее соответствует фактическим данным. Точность оценивается как совокупная разница между фактическими значениями показателя и его соответствующими теоретическими значениями. Обычно в качестве показателя точности модели используют коэффициент детерминации (R ²):

, (2.4)

, (2.5)

где n – количество уровней временного ряда (число наблюдений);

– фактическое значение показателя;

– расчетное значение показателя на основании тренда;

– среднее арифметическое фактических значений .

Коэффициент детерминации всегда удовлетворяет условию:

.

Чем ближе R ² к единице, тем точнее модель. На практике стараются подобрать такую модель, чтобы R ² > 0,9.

Когда выбрана лучшая модель и известны ее параметры, прогноз выполняется путем подстановки в уравнение тренда значения времени, относящегося к будущему.

В составе пакета MS Excel имеется средство добавления кривой роста выбранного вида на график фактических значений показателя. Чтобы использовать это средство, необходимо построить диаграмму изменения фактических значений показателя, затем выделить на ней ряд данных и из контекстного меню выбрать команду Добавить линию тренда.... Эта команда дает возможность добавления только некоторых (стандартных) функций тренда: линейной, экспоненциальной, полиномиальной, логарифмической и степенной. Для выбранной функции параметры тренда рассчитываются методом наименьших квадратов, т. е. Excel автоматически производит оптимизацию функции (2.3).