Теорема Хінчина - Вінера

Розглянемо сигнал , який є однією реалізацією випадкового стаціонарного ергодичного процесу тривалістю . Для сигналу можна визначити спектр . Якщо зсунути на реалізацію процесу, то отримаємо спектр . Для дійсних сигналів рівність Парсеваля за енергією взаємодії двох сигналів

може бути записана в такій формі:

Поділимо обидві частини рівності на і перейдемо до границі при , при цьому в її лівій частині побачимо вираз для функції кореляції, а в правій частині – перетворення Фур’є спектра потужності сигналу:

,

Звідси випливає, що кореляційна функція випадкового стаціонарного ергодичного процесу є зворотним перетворенням Фур’є його спектра потужності. Тому для спектра потужності випадкового процесу маємо пряме перетворення Фур’є:

В цьому і полягає зміст теореми Хінчина – Вінера. Функції та – дійсні та парні; в тригонометричній формі мають вигляд: