Закон Ома, I, II законы Кирхгофа в дифференциальной форме

Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объемом V (рис. 16.1).

Рис. 16.1. Параллелепипед в проводящей среде

Длина ребер параллелепипеда Dl, площадь поперечного сечения Ds.

Расположим его так, чтобы напряженность поля была в нем направлена параллельно ребру. В силу малости объема можно считать, что напряженность поля одна и та же во всем элементарном объеме:

где – единичный вектор по направлению _.

Ток:

(16.2)

Напряжение на элементе объема:

(16.3)

Сопротивление элемента объема:

, (16.4)

где g – удельная проводимость среды.

Поставив в (16.3) выражения (16.2) и (16.4) получим:

,

. (16.5)

Выражение (16.5) называют законом Ома в дифференциальной форме. Это уравнение справедливо для областей вне источников ЭДС. В областях, занятых источниками ЭДС, существует также так называемое стороннее электрическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической цепи. Это поле обусловлено химическими, электрохимическими, тепловыми и термоэлектрическими процессами. Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками ЭДС

(16.6)

Уравнение (16.6) называется обобщенным законом Ома. Если от обеих частей взять интеграл по замкнутому контуру, то получим второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме.

Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, входящий в объем, равняется току, выходящему из объема, иначе в этом объеме происходило бы накопление электрических зарядов, что опыт не подтверждает. Математически это записывают так:

(16.7)

Разделим правую и левую часть уравнения (16.7) на объем и возьмем предел в случае, когда объем стремится к нулю

(16.8)

Соотношение (16.8) называется первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Он гласит, что в установившемся режиме (при постоянном токе) в любой точке тока нет ни истока, ни стока линий тока проводимости .