Критерий Неймана-Пирсона

Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание z (t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Как правило, априорная вероятность наличия отражённого от цели сигнала (передачи 1) заранее не известна. Последствия двух родов ошибок - ложной тревоги (приемник фиксирует, что цель существует, в то время как в действительности её нет) и пропуска цели (приёмник отмечает отсутствие цели, в то время как фактически она имеется) - неравноценны.

В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана-Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги р_ЛТ обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели р _прц. Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели w (z|0)и о наличии цели w (z|1)

Очевидно, что можно различными способами разбить пространство принимаемых колебаний z(t) на две области: B ₀ (область решения об отсутствии цели) и B ₁, (о наличии цели) -так, чтобы вероятность ложной тревоги

(16)

равнялась заданной величине. Поскольку в локации символ 0 (отсутствие цели) передаётся паузой, то w (z |о) — это плотность распределения помехи. Следовательно, вероятность ложной тревоги определяется вероятностными характеристиками помехи и выбором области B ₁. Но от выбора этой области зависит и вероятность правильного обнаружения цели:

(17)

где p _прц - вероятность пропуска цели.

Интегралы в (16), (17) и в аналогичных других формулах, взятые по векторной переменной, очевидно, многократные.

Максимизация (17) при заданной величине (16) достигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства

,

где l - пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги р_ЛТ.

Существуют и другие критерии качества приёма, не требующие знания априорных вероятностей символов.

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия (12), (13). В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя. Однако очень часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных, но не одинаковых априорных вероятностях символов. Конечно, оно не обеспечивает в этих случаях максимума вероятности правильного приёма. Изменив решающую схему на схему, построенную по правилу максимальной апостериорной вероятности (6), реализующему критерий идеального наблюдателя, можно было бы уменьшить вероятность ошибок. При этом, очевидно, пришлось бы сократить области приёма маловероятных и расширить области высоко вероятных символов. В результате редко передаваемые символы принимались бы менее надёжно, нежели часто передаваемые. Но редкие символы несут больше информации, чем частые. Поэтому переход от правила максимального правдоподобия к правилу максимальной апостериорной вероятности, хотя и уменьшает безусловную вероятность ошибки, может привести к увеличению потери информации при демодуляции. Легко показать, что правило максимального правдоподобия, реализует критерий минимума среднего риска (15), если положить L_ij= 0 при i=j и L_ij = 1 /p (b_i) при j¹i.

Заключение

Выбор критерия качества приема определяет порядок разбиения пространства принимаемых сигналов, т.е. выбор оптимальной решающей схемы приёмного устройства.

В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия, решающую схему которого называют оптимальной.

Разработал

Доктор военных наук, профессор

А. Привалов

[1] Здесь и далее, если не будет определено обратное, нижний индекс, для упрощения записи, соответствует позиции кода.

[2] Обычно в приёмных устройствах демодулятору предшествуют усилители и преобразователи частоты. Здесь все они считаются включёнными в состав канала. В ряде случаев именно они являются основными источниками аддитивных помех канала.

[3] Начало этого отрезка для удобства совместим с началом координат. В принципе интервал анализа на приёме не всегда совпадает с тактовым интервалом Т (см. ниже). Сигналы на тактовом интервале часто будем называть элементом сигнала.

[4] В математической теории связи это разбиение и называют решающей схемой. Заметим, что в некоторых случаях пользуются решающей схемой со стиранием, или отказом от решения. Это значит, что m областей не охватывают всего пространства сигналов и если приходящий сигнал не попадает ни в одну из этих областей, то принимается решение о стирании либо о невозможности определить передаваемый символ.

[5] Вместо неравенств (12) можно было бы просто записать w (z| b_i)> w (z| b_j) Сравнение отношений правдоподобия вместо сравнения условных плотностей вероятностей вызвано тем, что понятие отношения правдоподобия можно распространить и на сигналы из бесконечномерного гильбертова пространства, для которых понятие плотностей вероятности w (z| b_i,), w (z| b_j) теряет смысл.