Критерий оптимального наблюдателя (критерий Котельникова)

Согласно критерию Котельникова качество демодулятора оценивают безусловной (средней) вероятностью правильного приема символа.

В n -мерном пространстве случайный сигнал z (t) характеризуется n -мерной плотностью вероятностей вектора z: w (z). Ее можно рассматривать как плотность вероятности коэффициентов разложения z (t) по любому ортонормированному базису. Если передаётся некоторый символ b_i, т.е. принимается сигнал s_i (t), то можно определить условную n -мерную плотность вероятности w (z | b_i) = w (z | s_i) — функцию правдоподобия i -й гипотезы (i =0, m -l).

Пусть на вход демодулятора в течение отрезка [0, T ] приходит некоторый элемент сигнала z (t). Предположим, что демодулятор принимает при этом решение, что передан символ b_i т.е. выдаёт оценку b_i. Вероятность того, что это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности p (b_i | z (t)) того, что действительно передавался символ b_i, при условии прихода реализации элемента сигнала z (t). Её называют апостериорной вероятностью символа b_i, (т.е. вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала z (t)).

Таким образом, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности — решение b_i, принимается в том случае, если выполняется система из m- 1 неравенств:

(4)

Иногда для сокращения записывают это правило в такой форме:

i = Arg max{ p (b_i | z)}, (5)

где под Аrg max{ A_i } понимается то значение i, при котором A_i максимально.

Для двоичной системы сигналов упомянутое правило сводится к проверке неравенства

p (1| z) > p (0| z). (6)

При выполнении неравенства (6) регистрируется символ 1, в противном случае - 0.

Согласно известной формуле Байеса

(7)

где p (b_i) — априорная вероятность передачи символа b_i (т.е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).

Подставив (7) в (4) и учитывая, что w (z) — безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией i, можно записать правило решения по критерию идеального наблюдателя в следующей форме:

p (b_i) w (z| b_i) > p (b_j) w (z| b_j) j= 0, 1,..., m- 1, j¹i, или сокращённо:

i= Arg max{ p (b_i) w (z| b_i)}. (8)

Приёмник, реализующий алгоритм (8), называют приёмником Котельникова. Для двоичной системы правило (8) сводится к проверке неравенства

p (1) w (z|1) > p (0) w (z|0) (9)

при выполнении которого регистрируется символ 1, а при невыполнении — 0.

Для построения решающей схемы по правилу (8) необходимо знать априорные вероятности символов p (b_i), а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности w (z | b_i) — функции правдоподобия.

Правило (8) можно записать иначе. Решение о том, что передавался символ b_i, должно приниматься, если для всех j¹ i выполняются т -1 неравенств

(10)

Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез: о том, что передавался символ b_i, и о том, что передавался символ b_j. Его обозначают L _ij.

В случае, когда все m символов передаются равновероятно, т.е. P (b_i) = l/ m, правило (10) упрощается:

L _ij > 1, i Î0,…, m -1, j¹ i. (11)

Отношение правдоподобия обычно обозначают просто L _i. Тогда правило (11) можно записать так:

L _i >L _j при всех j¹i (12)

или короче: i = Arg mах[L _i ].

Такое правило максимума правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя при том условии, что все символы передаются равновероятно [5] ⁾.

Для двоичной системы правило (12) сводится к проверке неравенства
L₁ >L₀ (13)