Критерий минимального среднего риска (баесовский критерий)

Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям. Например, в системе автоматической пожарной сигнализации опаснее не обнаружить сигнал о пожаре, нежели объявить "ложную тревогу", когда в действительности пожара нет.

Учет последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов) приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Введём некоторые понятия.

Если при передаче символа b_i, принят символ b_j, то при j¹i имеет место ошибка. Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов b_i и b_j связывать некоторую численную величину, называемую "потерей", обозначив её L_ij. Величина "потери" зависит, таким образом, от того, какой символ b_j принят вместо переданного b_i, Правильному приёму при этом обычно приписывается нулевая "потеря". Значения L_ij определяются в каждом конкретном случае важностью правильного приёма данного элемента сигнала и величиной опасности различных ошибок.

Так как при передаче символа b_t символы b_j появляются с определёнными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины "потери" при передаче конкретного символа b_i. Назовем это условное математическое ожидание условным риском:

. (14)

Интеграл в (14) берется по области В_j, решающей схемы и представляет вероятность того, что сигнал z (t) попал в эту область, если передавался символ b_i. Усреднив условный риск R_i по всем символам b_i, получим величину, называемую средним риском:

. (15)

Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска R_ср. Приемник, работающий по такому критерию, называют байесовским.

Из (15) видно, что при использовании этого критерия нужно, помимо априорных вероятностей р (b_i) передачи отдельных символов знать и величины потерь L_ij. Заметим, что если считать все ошибки равноценными (L_ij = const при j¹i и L_H = 0), то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова. В общем же случае в оптимальном байесовском приёмнике чаще будут возникать ошибки, связанные с малыми потерями, и реже - с большими потерями.