Свойства

Квадратная матрица Q называется ортогональной, если Q^TQ = E. Как мы увидим дальше, ортогональные матрицы задают такие преобразования пространства, которые не изменяют форму геометрических фигур. Поэтому мы должны изучить их свойства подробно.

Свойство 1. Определитель ортогональной матрицы равен ±1, в частности, такая матрица невырождена.

Доказательство. Так как Q^TQ = E, то |Q^T| |Q| = |Q|² = 1. Значит, |Q| = ±1.

Свойство 2. Обратная к ортогональной матрица тоже ортогональна.

Доказательство. Пусть Q^TQ = E или, что то же самое, Q ^-1 = Q^T. Транспонируя обе части, получим: что и означает ортогональность матрицы Q^-1.

Свойство 3. Произведение ортогональных матриц — ортогональная матрица.

Доказательство. Пусть Q₁, Q₂ — ортогональные матрицы.

Так как (Q₁Q₂)^T = Q₂^TQ₁^T,то (Q₁Q₂)^T(Q₁Q₂) = Q₂^T(Q₁^T Q₁)Q₂ = Q₂^T Q₂ = E. что и требовалось.

Свойство 4. Матрица Q ортогональна ⇔ сумма квадратов элементов любой строки равна 1, сумма произведений соответствующих элементов любых разных строк равна 0. Аналогичное свойство справедливо и для столбцов.

Доказательство следует из определения и правила умножения матриц. Записывая равенство Q^TQ = E подробно, например, для матриц 2-го порядка получим:

откуда и следуют требуемые соотношения.

Свойство 5. Матрица Q ортогональна ⇔ линейная замена переменных X = YQ преобразует сумму квадратов (т. е. квадратичную форму) снова в сумму квадратов.

Доказательство. Достаточно вспомнить правило преобразования матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных: матрица A преобразуется в матрицу QAQ^T. Если A = E, (т. е. квадратичная форма является суммой квадратов), то и QAQ^T = QQ^T = E.

[http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ortogonalnye-i-unitarnye-matritsy]

[http://www.chem-astu.ru/chair/study/algebra-geometry/]