Определение. Пусть есть два конечных множества и , где и — натуральные числа

Пусть есть два конечных множества и , где и — натуральные числа.

Назовём матрицей размера (читается на ) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида .

называется элементом матрицы, находящимся на пересечении -той строки и -ого столбца;

-ая строка матрицы состоит из элементов вида , где пробегает всё множество ;

-ый столбец матрицы состоит из элементов вида , где пробегает всё множество .

Если индекс пробегает множество , а пробегает множество , то совокупность элементов полностью определяет матрицу.

Таким образом, матрица размера состоит в точности из

строк (по элементов в каждой)

и столбцов (по элементов в каждом)

или элементов.

В соответствии с этим

каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в -мерном координатном пространстве ;

каждый столбец матрицы — как вектор в -мерном координатном пространстве .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве , имеющем размерность . Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк совпадает с количеством столбцов , то такая матрица называется квадратной, а число называется размером квадратной матрицы или её порядком.