Многочлены от одной переменной

Лекция №6

Выражение вида , где — некоторые числа и , называется многочленом степени от .

Два многочлена называются тождественно равными, если их числовые значения совпадают при всех значениях . Многочлены и тождественно равны тогда и только тогда, когда они совпадают, т.е. коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов одинаковы.

Операции над многочленами:

1. Сумма и разность многочленов: .

Суммой и разностью многочленов и называется следующий многочлен:

Степень полученного многочлена не превосходит максимальной степени многочленов и .

2. Умножение на одночлен: .

Умножим одночлен на многочлен :

т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями.

3. Умножение многочленов: .

Умножим многочлен на :

В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени и получается многочлен степени . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

4. Деление многочленов: .

Разделим многочлен на , то есть представим выражение в следующем виде:

где - частное от деления, - делимое, - делитель, - остаток.

При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство